Serie divergente

In matematica, una serie divergente è una serie infinita non convergente né indeterminata. In altre parole, la successione delle somme parziali diverge, cioè: per ogni $M>0$ esiste un indice $m$ tale che, per ogni $n\geq m$, $|S_{n}|>M$, ove $\{S_{n}\}$ è per l'appunto la successione delle somme parziali.

Se una serie converge, il termine generale della serie deve tendere a 0. Così, una serie nella quale il termine generale tende a un valore diverso da 0 diverge.

Non tutte le serie i cui termini tendono a 0 convergono. Il più semplice esempio di serie divergente è la serie armonica.

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

La sua divergenza fu dimostrata dal matematico medievale Nicole Oresme.

In campi specializzati della matematica, valori possono essere assegnati a certe serie divergenti. Il metodo della sommatoria è una funzione parziale che associa alla serie un valore. Per esempio la somma di Cesàro assegna alla serie di Grandi

$1-1+1-1+\ldots$

il valore ¹/₂ . Il metodo utilizza la media delle somme parziali. Altri metodi possono utilizzare le continuazioni analitiche, le regolarizzazioni e le rinormalizzazioni.

La serie armonica generalizzata

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ con $\ \alpha \in \mathbb {R}$ diverge per $\alpha \leq 1$ e converge per $\ \alpha >1$.

Storia

Prima del diciannovesimo secolo, le serie divergenti erano largamente utilizzate da Eulero e altri, ma spesso portavano a risultati confusi o contraddittori. L'idea di Eulero che ogni serie divergente potesse avere una somma naturale, senza aver ancora definito cosa fosse una serie di questo tipo, era ancora un problema. Cauchy aveva dato una rigorosa definizione di quelle convergenti (criterio di convergenza di Cauchy), per molto tempo le serie divergenti rimasero escluse dal panorama matematico. Esse riapparvero quando Poincaré presentò il suo lavoro sulle serie asintotiche. Nel 1890, Cesàro definì esplicitamente un metodo. Negli anni successivi molti altri matematici diedero altre definizioni, non sempre compatibili: diverse definizioni potevano portare infatti a diversi risultati.

Note

• (EN) Carl Brezinski e Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991, ISBN 978-04-44-88814-3.

Voci correlate

• Somma di Cesàro
• Somma di Abel
• Somma di Eulero
• Somma di Borel