Matematica

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Euclide, par Justus van Ghent

La matematica es la siensa cual studia la motifes en la strutures de cosas astrata e la relatas entre los. La parola es derivada de μάθημα (mathema, "cosa aprendeda") en elinica.

Matematica es esensal en multe campos, incluinte siensas natural, injenia, medica, finansia e siensas sosial. Matematica aplicada ia gida a multe disiplinas matematical nova, como statistica e teoria de jua. Matematicistes es ance envolveda en matematica pur, sin ave un aplica en mente.

Etimolojia

La parola matematica veni de la elinica μάθημα (máthēma), cual en elinica antica sinifia "lo cual es aprendeda" (e ance "studia" e "siensa", e en elinica moderna sola "leson").

Istoria

On pote vide la evolui de la matematica como un serie de astratas sempre cresente, o como un crese de un tema. La astrata prima, cual es compartida con multe animales, ia es probable la numeros: la comprende ce un colie de du pomas e un colie de du oranias ave alga cosa en comun, cual es per dise la cuantia de sua membros.

Temas xef

On va atenta esplica la temas xef de la investiga matematical, desiniante un curso per un prosimi progresiste de la problemes, la razonas e la disputas teorial.

Aritmetica

Article xef: Aritmetica

La problemes prima cual prosimi a la matematica es los cual pote es solveda con aritmetica fundal: la calculas fada con la cuatro operas pote relata a la maneja de finansia, evaluas de cuantias jeometrial o mecanical, calculas relatada a la ojetos e a la tecnicas cual on pote trova en la vive dial.

La plu fasil de esta calculas pote es fada con la numeros natural, ma rapida la problemes de calculo esije sabe trata la numeros relativa e razonal.

Aljebra

Article xef: Aljebra

La problemes aritmetical la plu simple es solveda par formulas cual furni resultas coerente. Per dise: la areas de un retangulo con lados longas $3$ e $5$ e sua produida $3\times 5=15$. Problemes plu complicada nesesa la usa de egalis. Pd: par la teorem de Pitagora, si un triangulo reta ave un lado plu corta de longia $3$ e $4$, la plu longa (ipotenusa) ave como longia la numero positiva $x$ cual solve la egali:

$x^{2}-3^{2}-4^{2}=0\;$.

La egalis la plu simple es la egalis linial, car los representa la demandas jeometrial la plu simple e car on pote solve los con prosedes normida.

En la formulas e en la egalis, on debe usa parametres con valuas nondeterminada: tal on pote dispone strumentos plu jeneral, cual permete consegue economia de pensa evidente. Pd: en un triangulo retangulo con cateto de longia $a$ e $b$, la longia de la ipotenusa es la numero positiva $x$ seguente la formula $x^{2}-a^{2}-b^{2}=0\;$.

Per valua la formulas plu bon e per resolve multe tipos de egalis, es nesesada developa un calculo de leteras cual ta permete reimajina los. La reglas de esta calculo leteral constitui la aljebra fundal.

Jeometria

Article xef: Jeometria

La studia de la jeometria plana e spasial conserna orijinal con primas: la punto, la linia, la plana. Combinante esta elementos en la plana o en la spasio on oteni otra ojetos como partes, angulos, angulos solida, poligones e poliedros.

Punto, linia, plana e spasio ave dimensiones en ordina 0, 1, 2 e 3. Tra la calcula vetoral on define e studia spasios en dimensiones plu alta (ance (infinita. La analojas "curva" de esta spasios "plana" es la curva e la surfases, de dimensiones en ordina 1 e 2. Un spasio curva en dimension acaso es nomida varia diferensiable.

A interna de esta spasio on pote frecuente defini puntos e linias (nomida geodetica), ma la jeometria cual segue lo no pote sasi la axiomi de Euclide: tal jeometria es nomida jeometria euclidal. Un esemplo es la surfas teran, cual conteni triangulo tota conteninte tre angulos reta.

Analise

Article xef: Analise matematical

La analise conserna xef la calculo, introdui la idea fundal de la limita, e a pos de derivada e integral. Con esta strumentos es analiseda la comportas de la funsionas, cual frecuente no ave un descrive clar ma es solves de un egalia diferensial, resultante per esemplo de un problem fisical.

Campos de la matematica

Matematicas pote es divideda en la studia de cuantia, strutur, spasio e cambia (pd aritmetica, aljebra, jeometria e analise). En ajunta a esta consernas xef, on ave ance campos dedicada a esplora lias de matematica con otra campos: con lojica, con matematica aplicada e plu resente con la studia sever de nonsertia. An si alga areas pote pare nonrelatada, la program de Laglands ia trova lias entre areas cual ante on ia pensa ia es nonliada, como la grupo de Galois, la surfas de Riemann e la teoria de numeros.

Fundi e filosofia

Per clari la fundi de matematica, la campos de lojica matematical e teoria de colies ia es developada. La lojica matematical inclui la studia matematical de lojica e la aplica de la lojica formal a otra areas de matematica; teoria de colies es la campo de matematica cual studia colies o colies de ojetos. La teoria de categorias cual trata de un forma astrata con strutures matematical e relatas entre los, es ancora developante. La frase "crise de fundi" descrive la xerca de un fundi sever per la matematica cual ia aveni entre 1900 e 1930. Alga desacorda re la fundi de matematica continua oji. La crise de fundi ia es stimulada per varia controversas en acel epoca, incluinte la controversa re la teoria de colies de Cantor e la controversa de Brouwer-Hilbert.

La informatica teorial inclui la teoria de computabli, la teoria de complicadia computal e la teoria de informa. La teoria de computablia esamina la limitas de varias modeles teorial de la computador, incluinte la model plu conoseda - la macina de Turing. La teoria de complicadia es la studia de la manejablia per computador; alga problemes, an si teorial solvable per un computador, es tan cara en relata con la tempo o spasio ce solve los es probable ce va resta cuasi nonrealable, an con la avansa rapida de la aparatos de computador. Un problem famosa es la problem "P = NP?", un de la Problemes de la Milenio. A fini, la teoria de informa es consernada con la cuantia de datos cual pote es retenida en un media donada, a de do trata consetas como compresa e entropia.

$p\Rightarrow q\,$
Lojica matematical	Teoria de colies	Teoria de categorias	Teoria de computa

Matematica pur

Cuantia

La studia de cuantia comensa con numeros, prima con la numeros natural e enteros, e operas aritmetical con los, cual es descrive en aritmetica. La proprias plu basa de enteros es studiada en teoria de numeros, de cual veni resulta poplal como la Teorem Ultima de Fermat. La divina de la enteros primal e la divina de Goldbach es du problemes nonresolveda en la teoria de numeros.

En cuando la sistem numeral ia es plu developada la enteros es reconoseda como un suclase de la numeros rasional ("fratos"). Estas, in turn es contenida dentro de la numeros real, cual es usada per representa cuantias continuante. La numeros real es jeneralida en numeros complesal. Estas es la pasos prima de un ierarcia de numeros cual inclui la cuaterniones e otoniones. La considera de la numeros natural ance gida a la numeros transfinita, cual formali la conseta de "nonfinitia". Seguente la teorem fundal de aljebra tota la solves de egalis en un nonconoseda con constantes complesal es numeros complesal, sin relata a la grado. Otra campo de studia es la grandia de grupos, cual es descriveda con la numeros cardinal. Estas inclui la numeros alef, cual permete compara sinifiosa de la grandia de grupos infinita grande.

$1,2,3,\ldots \!$	$\ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots \!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Numeros natural	Enteros	Numeros rasional	Numeros real	Numeros complesal

Strutur

Multe ojetos matematical, como la grupos de numeros e funsionas esibi strutur interna como resulta de la operas o relatas cual es definida en la grupo. Alora matematica studia proprias de esta grupos cual pote es espresada en relatada con acel strutur; per esemplo la teoria de numeros studia la proprias de la grupo de enteros cual pote es espresada en relata con operas aritmetical. En ajunta, lo frecuente aveni ce tal grupos struturida diferente (o strutures) esibi proprias simil, cual da posible, per un paso plu de astrata, afirma axiomes per un clase de strutures, e pos studia aora la clase intera de strutures sasiante esta axiomes. Tal on pote studia grupos e otra sistemes astrata; junta esta studias (per strutures definida per operas aljebral) constitui la domina de aljebra astrata.

Per sua grande jeneralia, aljebra astrata pote frecuente es aplicada a parente problemes nonrelatada; per esemplo un numero de problemes antica consernante la compas e straightedge constructions ia es final resolveda usante la teoria de Galois, cual envolve teoria de corpo e teoria de grupo. Otra esemplo de un teoria aljebral es aljebra linial cual es la studia jeneral de spasios vetoral, de cual la elementos nomida vetores ave cuantia e dirije, e pote es usada per modeli (relatas entre) puntos en spasio- Esta es un esemplo de la fenomeno cual la areas nonrelatada orijinal de jeometria ave interlias forte en matematica moderna. La combinatoria studia metodos per conta la numero de ojetos cual ajusta en un strutur donada.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Combinatoria	Teoria de numeros	Teoria de grupos	Teoria de grafes	Teoria de ordinas	Aljebra

Spasio

La studia de spasio nase con la jeometria – spesial, la jeometria euclidal, cual combina spasio e numeros, e ensirca la famosa teorem de Pitagora. La trigonometria es la campo de matematica cual conserna la relatas entre la lados e la angulos de triangulos e con la funsionas trigonometrial. La studia moderna de spasio jenerali esta ideas per inclui jeometria estradimensional, jeometrial noneuclidal (cual ave un rol sentral en relativia jeneral e topolojia. Cuantia e spasio ave un rol en jeometria analisal, jeometria diferensial e jeometria aljebral.

La jeometria convesa e separada ia es developada per solve problemes en teoria de numeros e analise funsional ma oji es xasada con un oio en aplica en masimi e informatica. En jeometria difrensial on trova la consetas de fibrida e calculo en varias, spesial, calculo vetoral e calcula tensoral. En jeometria aljebral on trova la descrive de ojetos jeometrial como colie de solves de egalis polinomial, combinante la conseta de cuantia e spasio, e ance la studia de grupos topolojial, cual combina strutur e spasio. Grupos de Lie es usada per studia spasio, strutur e cambia. Topolojia en tota sua ramos ta es la campo de matematica cual ta crese plu en la sentenio 20; lo inclui topolojia jeneral, topolojia de teoria de conjuntas, topolojia aljebral e topolojia diferensial. Spesial, esemplos de topolojia moderna es teoria de mesurablia, teoria axiomal de conjuntas, teoria de omotopia, and teoria de Morse.

Topolojia ance inclui la aora solveda ipotese de Poincaré, e la campos ancora nonresolveda de la ipotese de Hodge. Otra resultas en jeometria e topolojia, incluinte la toerema de cuatro colores e la ipotese de Kepler, ia es demostrada sola con la aida de computadores.

Jeometria	Trigonometria	Jeometria diferensial	Topolojia	Jeometria fratal	Teoria de mesuras

Cambia

Comprende es descrive cambia es un tema comun en la siensia natural, e calculo ia es developada como un instrumento potiosa per investiga lo. Funsionas ia apare aci, como un conseta sentral descrivente un cuantia cambiante. La studia atendente de la numeros real e funsionas de un variable real es conoseda como analise real, con analise complesal la campo corespondente per la numeros complesal. Analise funsional foca en la spasios tipal de dimensiones infinita de funsiones. Un de la multe aplicas de la analise funsional es mecanica cuantal. Multe problemes ia gida natural a relatas entre un cuantia e sua taso de cambia, e esta es studiada como egalis diferensial. Multe fenomenos en natur pote es descriveda per sistemes dinamical; teoria de caos fa esta la formas en cual multe de esta sistemes esibi nonpredisable an tal condui nonacaso.

Calculo	Calculo vetoral	Egalis diferensial	Sistemes dinamical	Teoria de caos	Analise complesal

Matematica aplicada

Matematica aplicada conserna metodos matematical cual es usada en siensa, comersia, injenia e industria. Tal, "matematica aplicada" es un siensa matematical con conose spesialida. La terma "matematica aplicada" ance descrive la spesiali profesal en cual matematicistes labora con problemes pratica; como un profesa focada en la "formula, studia e usa de modeles matematical" en siensa, injenia e otras campos de pratica matematical.

En la pasa, aplicas pratica ia motiva la developa de teorias matematical, cual a pos ia deveni la tema de studia en matematica pur, do matematica es developada xef per sua propria benefica. Tal, la ativia de matematica aplicada es interliada con rexerca en matematica pur.

Statistica e otra siensas de deside

Matematica aplicada supraponer con la disiplina de statistica, de cual la teoria es formulada matematical, spesial con la teoria de probablia. Statiscistes (laborante como parte de projetas de rexerca) "crea datos cual es lojical" con eleje acaso e con esperimentes acasida ;

La desinia de un sample statistical o esperimenta spesifa la analise de la datos (ante ce la datos ta es disponable). Cuando on reconsidera datos de esperimentas e samples o cuando on analise datos de studias oservante, la statisticiste "dona lojica a la datos" usante la arte de la modeli e la teoria de dedui – con eleje e estima de model; la modeles estimada e predises resultante debe es esaminada sur datos nova.

Teoria statistical studia la problemes de desides como minimi la risca perde espetada de un ata statistical, como usante un prosede en, per dise, estima de parametres, proba de ipoteses e eleje la plu bon. En esta campos tradisional de la statistica matematical un probleme de deside estatistical es formulada miniminte un funsiona ojetal, perde o custa espetada, su constrinjes spesifada: per dise, la desinia de un survide envolve tipal la minimi de cussta de estima de un promedia de un cuantia con un grado spesifada de sertia. Per causa de sua uso de masimi, la teoria matematical de statistica comparti consernas con otra siensas de deside, como rexerca de funsiones, teoria de controla e economia matematical.

Fisica matematical	Dinamica de fluentes	Analise numeral	Masimi	Teoria de probablia	Statistica	Criptografia
Finansia matematical	Teoria de jua	Biolojia matematical	Cimica matematical	Economia matematical	Teoria de controla

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