ウェブサイトやブログにツイートを埋め込む方法

はい。埋め込みツイートはTwitterにアップロードした画像や動画だけでなく、リンクにひも付いているコンテンツ（ウィジェット）も表示できます。

[このツイートをサイトに埋め込む] ダイアログの [メディアを含める] チェックボックスをオフにして、ツイートとともに表示される画像や動画、リンクのウィジェットを非表示にできます。

埋め込みツイートが返信の場合は、元のツイートが返信の上に表示されます。固定リンクの取得は元のツイートと返信のそれぞれで可能ですが、ツイートに対する操作（返信、リツイート、いいね）ができるのは返信のみです。

[このツイートをサイトに埋め込む] ダイアログの [元のツイートを含める] チェックボックスをオフにして、元のツイートを非表示にできます。

ツイートを非公開にしているアカウントのツイートでは埋め込みコードは利用できません。 

ツイートのテキスト部分は引き続き表示されますが、メディアがTwitterウィジェットのJavaScriptで読み込まれなくなります。 

埋め込みツイートの詳細については、開発者サイトのこちらのページをご覧ください。