Reseñas - Euclides

Euclides: La definición de los axiomas de la geometría

Josep Pla i Carrera

2017, RBA

* * * (regular)

Interesante anque algo hermético volume divulgativo encol dos fundamentos da xeometría grega.

Conta a anécdota que el-rei Tolomeo, intimidado pola ximnasia mental que require o pensamento xeométrico, preguntáralle ao seu matemático Euclides se non había algún atallo para aprender esta ardua ciencia, ao que o sabio lle tería respostado que "μή εἶναι βασιλικήν ἀτραπόν ἐπί γεωμετρίαν", ou en román paladino "que non hai camiño real para a xeometría". Lendo o pequeno volume do señor Pla, o mantedor sentiuse un chisco coma o faraón exipcio; nas seguintes liñas explicaremos porqué.

O libro pertence á colección 'Genios de las Matemáticas' á que estou suscrito, e como tódolos exemplares da colección, ten que axustar a un formato limitante (menos de 170 páxinas) e a uns contidos de matemática divulgativa que xiran arredor do biográfico (normalmente, a parte máis lixeira e anecdótica da lectura) e o matemático, sempre cun carácter divulgativo e que lle resulte intelixíbel a un lector medianamente culto. Cada exemplar persegue a súa peculiar singladura entre estes atrancos, e dependendo da pericia do seu escritor/capitán e das dificultades consustanciais de cada biografiado e das súas matemáticas, o resultado é máis ou menos satisfactorio.

No caso do exemplar de Euclides, unha dificultade non trivial xurde do pouco que sabemos arredor da figura histórica deste matemático alexandrino: todo o que se coñece (e boa parte disto, anecdótico e pouco fiábel) reduciría o libro a un par de páxinas. Isto obriga ao profesor Pla a transformar a obra máis ben nunha introducción á matemática grega, centrándose, claro está, na obra cume dos Elementos de Xeometría dos que Euclides foi co redactor/sintetizador; unha escolla que determina de xeito inevitábel a maior densidade matemática do volume por comparanza con outros exemplares da serie.

Por outro lado, e dado que a xeometría euclidiá é a mesma que aprendemos na escola, sería de pensar que este feito faría o material máis accesíbel; isto é así no caso das proposicións e teoremas máis sinxelos, mais non así en moitos outros dos que inzan estas páxinas. Amais, hai que ter en conta que o concepto e as limitacións matemáticas do mundo helenístico (os gregos non tiñan o 0 nen un sistema posicional, nen un bo sistema de notación; descoñecían os números enteiros, e desconfiaban dos irracionais) volven herméticos certos postulados e ideas. Quizaves, tamén, a necesidade de ser sintético obrigou ao escritor a apurar e sintetizar cousas e pasos que non lle resultan tan claros a un lector leigo, e levan a que un non sexa capaz de seguir moitas veces o fío e o argumento que se expón (por exemplo, no método de exaución, na explicación do Algoritmo de Euclides ou da independencia da unidade de medida).

Cos seus defectos, o libro non deixa de ser unha lectura instructiva e interesante, que seguramente se poida completar de xeito satisfactorio cun bo (e algo máis extenso) manual. 

Ad vocatio

Poucas verbas suscitan maior rexeitamento e suspicacia no mantedor que a de 'vocación'. Unha parte seguramente se deba ás súas asociacións relixiosas, anque unha parte maior se debe ao emprego interesado e torticero que se soe facer do termo: co gallo de que algunhas profesións teñen supostamente caracter vocacional, algúns non se cansan de pontificar que en tal caso, un debe estar contento de facelas cobrando a metade de soldo e traballando o dobre de horas, coma se o traballo fose unha labor misional ou unha especie de hobby; e non o é: eu no meu tempo libre adícome a ler libros (e ás veces, a comer xeados), e desafortunadamente, aínda non cavilei no xeito da conseguir que me paguen por calquera desas dúas cousas*. Cando se fala da docencia estes abusos do termo fanse aínda máis sangrantes e por iso, tal Goebbels, cada vez que escoito o palabro infausto boto man de xeito inconsciente cara unha imaxinaria pistola. 

Vaia por diante que eu pásoo moi ben no meu traballo, e que como calquera persoa de ben, tento levalo adiante do mellor xeito posíbel (mais iso chámase con outros termos: profesionalidade, seriedade, bo-facer, autoestima, dignidade e respecto cara un e cara os demais); o que non quita que se me deixasen de pagar por el ou empeorasen sustancialmente as súas condicións, buscaría adicarme a outra cousa. E o que tampouco quita que seguramente habería traballos nos que disfrutaría máis, globalmente (e moitos outros nos que disfrutaría moitísimo menos, ou nada).

Porén, do que quería falarvos de verdade é do carácter evanescente, impreciso, azaroso dos intereses académico-laborais que nos levan a escoller unha posíbel profesión fronte a outras, e que tamén constitúen a 'vocación' nun sentido máis laxo. Co paso dos anos voume dando conta do abismo que medra entre o que pensas que che gusta e o que, cando te ves no allo, realmente che gusta facer. 

Parte da culpa dos problemas neste terreo é que como adolescentes inmaduros temos que facer escollas académicas que abren e pechan portas de xeito case definitivo. A falla de guías claras, o máis probábel é que vaias percorrendo un camiño a base de afinidades e antipatías nas materias do bacharelato; no meu caso, con 13 ou 14 anos tiña clarísimo que adoraba unha disciplina académica por riba de todas (a Clío -non a cadela, senón a Historia con maiúsculas) e que pensaba gañarme a vida dun xeito ou doutro con ela; felizmente ignorante dos traballos reais (se teñen sorte) nos que soen caer a maioría dos seus licenciados, ignoraba tamén a miña habelencia ou interese para facelos -pero é que un dos moitos vicios e parvoices da adolescencia é  pensar que es especial e moito máis listo do que verdadeiramente es, e que as regras, limitacións e probabilidades que pairan sobre os demais non foron feitas para tí.

Do mesmo xeito que vía prístina e brillante a senda do historiador, non se me pasaba nen remotamente pola cachola que puidese rematar dando aulas de inglés - e disfrutándoo. Para o caso  no que agora me movo, nen sequera sabía qué era iso dunha 'Escola Oficial de Idiomas' ata que comecei a traballar nunha.

É que Deus sí que xoga aos dados, e debe disfrutar do xogo coma un anano. Noutras entradas quizaves vos debulle o auxe e caída das miñas sucesivas vocacións, e de cómo fun descubrindo os adoquíns debaixo de cadanseu espellismo da praia paradisíaca...   

*Acéptanse suxerencias e propostas laborais ao respecto!

Gesuiti euclidei

Como na célebre canción de Battiato, estou a ler estes días (en Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World de Amir Alexander) sobre a afición dos xesuítas coa xeometría euclidiá, ao tempo que o seu odio visceral pola 'moderna matemática' que xurdía coa Revolución Científica en Italia e que ben se ocuparon de soterrar no seu país natal. A tese do autor ven a ser que a Sociedade de Xesús, coma brazo armado e militante da Contrarreforma católica, e imbuída dunha filosofía neomedievalizante, dogmática, autoritaria e xerárquica, acabou aceptando a Xeometría de Euclides como parte básica do seu currículo educativo ao entender a matemática antiga (formulada rigurosamente dende axiomas, ideal -no senso de ignorar ou minisvalorar a información empírica-, elaboradora de verdades irrefutábeis e incuestionábeis) coma un instrumento útil na súa reconquista do mundo para a autoridade católica e papal (e ben exemplificada na sonada reforma do calendario -ao noso moderno Gregoriano- que levaron a cabo). Enténdese entón que reaccionasen tan mal á nova matemática do Renacemento que, posta ao servizo da ciencia física, conduciría mediante as súas aproximacións ao infinitamente pequeno, ao moderno Cálculo de Newton e Leibniz, e á nosa modernidade científica, económica e filosófica.

Encol deste cambio fulcral na disciplina tamén fun lendo anacos e retallos nas lecturas dos días atrás; na biografía de Fermat de Luis Fernando Areán Álvarez explícase cómo no século XVI conflúen no pensamento dúas tradicións matemáticas antagónicas: dun lado está a tradicional, herdada dos gregos e practicada polos xeómetras, e doutro a matemática dos cosistas: 'práctica', 'aplicada', filla da álxebra dos árabes e dos cálculos comerciais dos mercaderes italianos, un eido máis interesado en resultados que funcionen, anque non estivesen rigorosamente fundamentados; entre os militantes desta última fornada temos aos 'duelistas' italiáns en concursos de ecuacións: del Ferro, Tartaglia, Cardano; o alxebrista e criptógrafo François Viète, Cavalieri, Torriceli... 

Malia que nos países católicos se impón o cerrollo e a fogueira, exemplificados na condea e arresto domiciliarios de Galileo, nos países protestantes a nova matemática abrollará con forza, levando, como dicíamos, á invención do Cálculo e ao desenrolo da Revolución Científica; tamén a unha mutación na disciplina matemática: aos longo dos séculos XVII e XVIII triunfa o modelo 'aplicado', e só logo dunha longa e paciente labor no século XIX, ornada de nomes famosos coma os de Gauss, Cauchy e Weierstrass, se consegue poñer a Análise nunha base tan sólida, ou case, como a da anterga Xeometría, e parcialmente pechar este cisma tan parello ao da ruptura da unidade relixiosa de Europa.

A día de hoxe, quizaves, son precisamente os estudosos doutra disciplina (os físicos) os que poidan en certa medida actuar coma os cosistas de tempos pasados: eles tamén traballan con matemáticas avanzadas e con certo desleixo á demostración rigurosa en tanto as súas ferramentas 'funcionen' e describan e predigan de xeito efectivo a realidade material. Ao respeito resulta moi interesante a entrevista recente ao físico Robbert Dijkgraaf onde se apunta precisamente nesta dirección.     

Textos censurados - Elección de Ferrín coma presidente da RAG

Entre os textos para a prensa que me rexeitaron non só hai reseñas; cando Xosé Luis Méndez Ferrín foi elixido presidente da Real Academia Galega compuxera isto para o suplemento cultural no que traballaba, supoñendo que a noticia era o suficientemente relevante para merecelo; porén, non tiven en conta a furibunda antipatía que xa daquela, antes dos ruxerruxes mediáticos, inspiraba o poeta. As instruccións 'de arriba' eran tallantes ao respeito: nen pan, nen sal, nen espazos para el.

XOSÉ LUIS MÉNDEZ FERRÍN : VOCE NA NÉBOA

Con la reciente elección de Xosé Luís Méndez Ferrín como presidente de la Real Academia Gallega, dicha institución consolida con broche dorado una doble trayectoria: la que por un lado continúa el carrousel de presidencias recientes que han aumentado el estatus de la institución, incluyendo historiadores de peso, como el saliente Barreiro Fernández o el polímata Fernández del Riego, encarnación de continuidad en la cultura gallega desde los años 30 al presente; por el otro, la que narra el ascenso del escritor de Vilanova dos Infantes al máximo reconocimiento institucional, cuando ya había conquistado el Parnaso galaico de las letras como su escritor más prestigioso y su reiterado candidato al Nóbel.

La crónica vital y personal de Méndez Ferrín sirve de fresco y tapiz descriptivo de los cambios y crecimientos de la literatura gallega contemporánea, muchas de cuyas tendencias el es el encargado de inaugurarlas. Tal perspectiva resultaba lejana de prever cuando comienza a dar sus primeros pasos en una lejana Compostela del año 1955, posteriormente convertida por éste en las imágenes de papel y tinta de No ventre do silencio. Joven estudiante de raíces orensanas y viguesas y clase media, su inmersión en la nueva estudiantina lo pone en contacto con la cultura galleguista que sobrevive en los años grises del franquismo, arrimado al proyecto de la Editorial Galaxia, Ramón Piñeiro y un Otero Pedrayo guía magistral y profesor admirado, casi en exclusiva. Son estos dos los que reciben la dedicatoria de su primera colectánea de relatos, Percival e outras historias. Inaugura también el Percival un río subterráneo de escritura alegórica y evocativa que convivirá, mejor o peor, con las otras inquietudes del momento, cifradas sobre todo en el existencialismo sartreano, mejor plasmado en otros textos contemporáneos de Ferrín como su poemario Voce na néboa (1957) o las novelas O crepúsculo e as formigas y Arrabaldo do norde (1964). Todos los textos testimonian también, más allá de su voluntad intergenérica (que el autor ha seguido cultivando hasta el presente, aunque con una posición cada vez más central para su poesía) al esfuerzo renovador de las letras gallegas que representó la Nueva Narrativa Gallega. Los aires venían de Europa, y los jóvenes proclamaban su rebeldía y su militancia en las filas de Faulker, de Joyce, de Kafka y los escritores del Noveau Roman y la generación beat.  

La reivindicación literaria va pareja de la política, constituyéndose en una mitad del famoso binomio de pólvora y magnolias que han hecho característico e inconfundible el estilo de Xosé Luis, y dado título a su poemario más famoso. La fundación del grupo Brais Pinto y de la UPG se compagina con versos de tono combativo y civil (como la poesía completa de su heterónimo, Heriberto Bens, o el Sirventés pola destrucción da Occitania). Precisamente la escritura de una novela dedicada a los maquis gallegos llevará sus huesos a las cárceles de la dictadura, pasando por Vigo, Coruña y el Penal del Dueso. De la estancia carcelaria sacará, en palabras propias ‘una mayor compresión hacia las miserias humanas’ y el borrador mental de la fábula-relato Retorno a Tagen Ata, otra pieza más de lo que ya se está convirtiendo en sus obras en prosa en la gigantesca red intratextual de un mundo tan propio, personal, poético y significativo como la Tierra Media de Tolkien.

La tormenta e impulso de la Transición no alteran rumbos ni objetivos en Xosé Luis, aunque los progresivos desengaños y desencuentros políticos, que no minan (y sigan sin minar casi treinta años después) su militancia y sus postulados ideológicos se van alternando en mayor grado con su creciente centralidad literaria. La segunda mitad de los setenta y la década de los ochenta ven salír de su pluma el poemario Con pólvora e magnolias, fusión del esteticismo formalista y del panfleto político que inaugura el tono culturalista de la poesía de los 80. Crónica de Nós, Amor de Artur y Arrianos testimonian un creciente dominio maestro del relato corto, al tiempo que Bretaña Esmeraldina pasa a ocupar discutiblemente el trono por excelencia entre las novelas de la Nueva Narrativa.   

Y es que los trabajos y los días de los últimos años no han hecho más que consolidar su posición canónica como centro de lo que Bourdieu teorizó como Campo Literario. Escritor ‘para escritores’ con fama de difícil, sus libros siguen marcando y cambiando tendencia (es el caso de su poemario Estirpe, del año 94). Su incorporación al máximo sitial de Tabernas, 11 promete abrir un nuevo escenario en el que verter su incombustible fuego y pasión por la lucha y arte entre los oscuros nubarrones de un presente incierto.     

Libros do Mes

Cuando las rectas se vuelven curvas de Joan Gómez Urgellés

Men of Mathematics de E.T. Bell [E]

Entre ondas y partículas de Matteo Cristiani

Fermat de Luis Fernando Areán

A Game of Thrones de George R.R. Martin

The Math Book de Clifford A. Pickover  [E]

*Infinitesimal de Amir Alexander [E]

*La proporción áurea de Fernando Corbalán

*Statistics (3ª ed.) de Freedman, Pisani et Purves

*The Constants of Nature de John Barrow [E]

Flocos de neve de Koch

"Os flocos de Koch son habitualmente un dos primeiros obxectos fractais aos que son expostos os estudantes, e trátase tamén dun dos primeiros obxectos fractais descritos na historia das matemáticas. A complexa forma aparece na publicación de 1904 do matemático sueco Helge von Koch "Encol dunha curva continua sen tanxentes, construíbel a partir da xeometría elemental". Un obxecto relacionado, a curva de Koch, comeza cun segmento de liña no canto dun triángulo equilátero no mesmo proceso que se emprega para xerar a curva.

Para crear a enrugada curva de Koch, podemos alterar de xeito recursivo o segmento de liña, contemplando a súa xeración dun número infindo de bordes no proceso. Imaxina dividir unha liña en tres partes iguais. A continuación, substitúe a porción central por dúas liñas, as dúas da mesma lonxitude das tres primeiras, de tal xeito que formen unha cuña en forma de V (os bordes superiores dun triángulo equilatero). A forma agora consiste en catro liñas rectas. Para cada unha destas liñas, repite o proceso de dividir e formar cuñas.

Comezando cunha liña de arredor dunha pulgada de lonxitude, a lonxitude desta curva que medra no punto n do proceso será de (4/3) elevado a n pulgadas. Despois duns centos de iteracións, a lonxitude da curva torna máis grande que o diámetro do universo visíbel. De feito, a 'derradeira' curva de Koch ten lonxitude infinda e dimensión fractal de arredor de 1.26, xa que parcialmente enche o plano 2-D no que se debuxa.

A pesar de que o borde dun floco de neve de Koch ten lonxitude infinda, pecha unha área finita (2 por raiz de 3 por s ao cadrado, e todo isto dividido por 5), onde s representa a lonxitude orixinaria do lado ou, de xeito equivalente, a área é simplesmentes 8/5 veces a área do triángulo orixinal. Tede en conta que unha función non ten unha tanxente definida nunha esquina, o que significa que a función non é diferenciábel (non ten derivadas únicas)  nas esquinas. A curva de Koch non é diferenciábel en ningures (porque é tan afiada!), malia que se trata dunha curva contínua".

Cliff A. Pickover, The Math Book 

Unreasonable practicality

Case medio século atrás, o físico Eugene Wigner preguntábase, nun sonado artigo, arredor da irrazoábel eficacia das Matemáticas á hora de describir o mundo físico, facer prediccións empíricas de sorprendente precisión ou abrir novas liñas de investigación científica. Diferente anque tamén sorpresiva é a irrazoábel practicalidade das Matemáticas; é certo que hai casos concretos onde se desenvolven eidos da disciplina específicamente para acadar resultados efectivos (por exemplo, o invento do Cálculo por Newton e Leibniz para dotar de sólidas ferramentas matemáticas á nova Física da Revolución Científica); máis curioso, porén, é cando investigacións na matemática máis pura e trascendente rematan por ter (e non moito despois do seu desenrolo) aplicacións utilitarias sorpresivas; Isto venme ao maxín pensando en lecturas recentes sobre o cálculo matricial dos británicos Cayley e Sylvester (fundamental, entre outras cousas, para os gráficos e a ilusión de  movemento en computadores), os números primos e aritmética modular (piar básico da criptografía e, polo tanto, da privacidade das mensaxes en internet) ou as xeometrías non euclídeas (a ferramenta chave detrás da Relatividade de Einstein e do GPS).

E non nos enganemos: de non seren polas aplicacións, e malia a súa profundidade, sorpresa, lóxica e beleza, as mates estarían na mesma miserábel posición que as Humanidades, obxetos de escarnio e maldizer nos nosos tempos utilitarios...

Libros do Mes

Matemáticos, espías y piratas informáticos de Joan Gómez Urgellés

Hacia las estrellas de Carlo Davide Cenadelli

The Science of Discworld de Ian Stewart / Terry Pratchett / Jack Cohen

Las teorías del caos y la complejidad de Sergio de Régules

*Cuando las rectas se vuelven curvas de Joan Gómez Urgellés

*A Game of Thrones de George R.R. Martin

*The New Oxford Annotated Bible with Apocrypha: New Revised Standard Version de VVAA [E]

*Men of Mathematics de E.T. Bell [E]

*Matemáticas I (Bachillerato) de J. Colera Jiménez et al.