Koppel (Mathematik)

De Koppel is een vun de wichtigste Konzepte vun de Mathematik. De Koppenkünn faat enkelte Liddmaten (Elementen) to 'n Koppel tosamen. De Elementen köönt t.B. Tallen, Lüüd, Bookstaven etc. ween. En Koppel kann ok leddig ween (leddige Koppel).

De Mathematikers hebbt de Koppelkünn to't Enn vun dat 19. Johrhunnert utklamüüstert, un de warrt in de Mathematik nu so veel bruukt, dat se al op de Grundschool ünnerricht warrt. Se is sotoseggen, de Spraak in de de moderne Mathematik verkloort warrt.

Begreep un Schriefwies vun mathematische Koppels

Richard Dedekind hett de Koppel so verkloort: De Koppel is so as 'n Sack, wo welke Saken (de Elementen vun de Koppel) binnen sünd. Dit Bild helpt to verstahn, wat 'n leddige Koppel is: dat is nich "nix", man dat is 'n leddigen Sack, wo nix binnen is.

Definitschoon dör Optellen

Endliche Koppels laat sik (besünners, wenn dor nich vele Elemente binnen sünd) dörch Optellen vun jümehr Elemente opschrieven.

Bispeel: M = {blau, gröön, root}. Bi dat Optellen vun de Elemente is dat goot, en "natürliche" Reeg vun de Elemente to bruken, t.B. de alphabetische Reeg. Dat kann een beter lesen. Man för de Koppel sülvst is de Reeg vun jümehr Elementen eendoont. Dat is dorbi nich begäng, Elementen mehr as eenmal optoschrieven. De Koppel warrt dör de Elemente defineert, de in ehr binnen sünd, un dat ännert nix an de Koppel, wenn en Element tweemal opschreven warrt oder wenn twee Elemente tuuscht warrt: M = {blau, gröön, root} = {root, blau, gröön, blau}.

Definitschoon dör Vertellen

Dat is ok möglich, 'n Koppel mit Wöör to beschrieven, t.B.

A is de Koppel woneem de eersten veer positiven helen Tallen binnen sünd.

B is de Koppel vun de dree Klören ut de franzöösche Flagg.

Definitschoon dör mathematische Notatschoon

Bi groten Koppeln mit velen Elementen is dat nich goot möglich, den Inholl vun de Koppel kumplett optoschrieven. T.B. Dat düert lang, E = {de eersten 1000 positiven helen Tallen} uttoschrieven un dat düert ok lang, dat to lesen. Un so schrievt de Mathematikers dat denn ok nich ut, man se bruukt 'n Afkörten:

E = {1, 2, 3, ..., 1000}

Dat heet, de List lett sik afkörten, wenn de Elementen to 'n Munster passt, dat de Leser ok glieks rutfinnen kann. De List warrt dann mit dat Symbol (...) afkört. Man een mutt dann oppassen, so vele Elementen optoschrieven, dat dat Munster ok kloor is. Een Bispill:

X = {1, 2, ..., 16}

Hier gifft dat twee Mööglichkeiten, dat to verstahn. Dat kann de Koppel vun de eersten 16 natürlichen Tallen ween, oder ok de Koppel vun de eersten 5 Potenzen vun de 2, also {1, 2, 4, 8, 16}.

Dit System funktscheneert ok blots dann, wenn dat Munster licht ruttofinnen is, t.B. hett de Koppel

F = {−4, −3, 0, ..., 357}

ok 'n System, man dat is nich glieks kloor, wat dat is:

F = {de eersten 20 Tallen, de üm 4 lütter sünd as 'n Quadrattall}.

För so'n Fall hebbt de Mathematikers 'n spezielle Schriefwies, t.B.

F = {n : $n^{2}$ − 4 : n is 'n hele Tall un 0 $\leq$ n $\leq$ 19}

In disse Schriefwies heet de Dubbelpunkt (:) so dat oder woneem, un de Mathematikers leest dat dann so:

F is de Koppel vun Tallen mit de Form $n^{2}$ − 4, so dat n 'n hele Tall twischen 0 un 19 is. (Dat gifft ok Lüüd, de nich den Dubbelpunkt, man dat Symbol | bruukt.)

Un de kumplette List vun de Elementen gifft dat, wenn een in den Utdruck $n^{2}$ − 4 för n alle Tallen vun 0 bet 19 insett.

Schrievwies för "is 'n Element vun"

Dat gifft 'n speziellet Symbol, wenn jichtenswat 'n Element ($\in$) oder ok keen Element ($\notin$) vun 'n Koppel is, t.B.:

• $4\in A$ un $285\in F$ (wieldat 285 = 17² − 4); man
• $9\notin F$ un $\mathrm {green} \ \notin B$.