Multzo

Artikulu honek multzoak modu didaktiko batez agertzen ditu. Multzo teoria eta bere axiomatikari buruz jakiteko, ikus Multzo-teoria.

Vennen diagramek multzoak azaltzen laguntzen dute, elementuen eta multzoen arteko erlazioak eta eragiketak irudikatuz: $A=\{a\},\ B=\{a,b,c\}\,$ badira, $A\subseteq B$ (A Bren barnean dago), $b\in B$ (b elementua Bren baitan dago) eta $d,e\notin B$ (d eta e ez daude Bren baitan).

Matematikan, multzo objektu ezberdinen bilduma bat da. Elementuak deitzen diren objektu hauek edozein erakoak izan daitezke: zenbakiak, hitzak zein pertsonak.

Definizioa eta adierazpena

Multzo batek barnehartzen dituen objektuei elementu deritze. Multzoak bi modutara defini daitezke: bere baitan dauden elementuen zerrenda osatuz (X={0,1,2}, Y={Ane,Mikel}, adibidez) edo elementuen propietate bat adieraziz( Z={10 urtetik beherako bilbotarrak}, B={zenbaki bikoitiak}, adibidez). Elementutzat multzoak dituzten multzoak ere defini daitezke: P={{0,1},{1,2,3}}, adibidez. Elementuen zerrenda zehazten denean, multzoaren hedadurazko definizioa egiten dela esaten da. Elementuen propietate bat aipatuz egiten denean, berriz, definizio trinkoa egiten dela esaten da. Multzoak finituak zein infinituak izan daitezke. Adibidez, A={0,1,2,3} finitua da eta B={zenbaki bikoitiak} infinitua. Multzo infinituak definizio trinkoaz adierazi behar dira.

Multzoak letra maiuskulaz eta bertako elementuak letra minuskulaz idazten dira hitzarmenez. Horrela, A={a,b,c,d,e,f} idatziko da. Multzo bateko elementuek ez dute zertan propietate bat partekaturik, hau da, erabat izaera ezberdinekoak izan daitezke: A={Ane, Donostia, zakur} edo B={2,+,x}.

Oinarrizko kontzeptuak

Multzoko elementuak

a elementu A multzo baten baitan dagoela honela adierazten da: $a\in A$ eta "a A multzoaren baitan dago" esaten da. Elementu bat multzo baitan ez dagoela honela adierazten da, berriz: $x\notin A\,$.

Barnekotasuna eta azpimultzoak

Multzoak bata bestearen barnean ere izan daitezke. Adibidez, {0} multzoa {0,1,2} multzoaren barnean dago edo {0} {0,1,2} multzoaren azpimultzo bat dela esaten da. Barnekotasun-erlazioa honela adierazten da : $A\subseteq B$ (A multzoa B multzoaren barnean).

Multzo teorian bada multzo berezi bat: multzo hutsa edo $\emptyset$ multzoa da. Multzo hutsak badu propietate jakingarri bat: multzo hutsa multzo guztien barnean dago, hau da, A multzo guztietarako hau betetzen da: $\emptyset \subseteq A$. Multzo oro beraren azpimultzo da: $A\subseteq A$

Multzo baten kardinala

Multzo batek elementu-kopuruari multzoren kardinala deritzo. X multzoaren kardinala $|X|\,$ adierazten da. Adibidez, $|\{0,1,2\}|=3\,$. Kardinala ere infinitua izan daiteke, ℕ zenbaki arrunten multzoaren kasuan bezala. Orduan multzoa infinitua dela esaten da. Kardinal infinituak batzuk besteak baino handiagoak izan daitezke; zenbaki errealen kardinala zenbaki arruntena baino handiagoa da, adibidez.

Potentzia-multzoa

A multzo baten azpimultzo guztiek osatzen duten multzoari potentzia-multzo deritzo, eta P(A), ℘(A) edo 2^A adierazten da. Adibidez, S = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzia-multzoa ℘(S) = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}. Potentzia-multzoaren kardinala multzoarena baino handiagoa da beti. Multzo baten kardinala n izanez gero, bere potentzia-multzoaren kardinala 2ⁿ da. Multzoa infinitua baldin bada, bai zenbakarria bai zenbakaitza, potentzia-multzoa infinitu zenbakaitza izango da. Zenbaki arrunten potentzia-multzoa bijekzio bidez zenbaki errealen multzoarekin lotu daiteke, esaterako.

Eragiketak

Bilketa

A eta B-ren bildura

A eta B bi multzok osatzen duten bildura A-renak diren edota B-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da, A ∪ B bezala adierazten dena.

$A\cup B=\{a\,/\,a\in A\,\mathrm {edo} \,a\in B\}$

Bilketa ez da bi multzotara mugatzen, edozein multzo kopurutan definitu baitaiteke. Hurrengo propietateak betetzen ditu:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ⊆ A ∪ B
• A ∪ A = A
• A ∪ ∅ = A
• Baldin eta soilik baldin A ∪ B = B, orduan A ⊆ B

Ebakidura

A eta B-ren ebakidura

A eta B bi multzoren ebakidura aldi berean A-renak eta B-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da, A ∩ B bezala adierazten dena.

$A\cap B=\{a\,/\,a\in A\,\mathrm {eta} \,a\in B\}$

Bilketan bezala, ebakidura edozein multzo kopurutan defini daiteke. Hurrengo propietateak betetzen dira:

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• A ∩ B ⊆ A
• A ∩ A = A
• A ∩ ∅ = ∅
• A ⊆ B baldin eta soilik baldin A ∩ B = A

Gainera, bilketa eta ebakiduraren artean propietate distributiboa betetzen da:

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Multzo osagarria

B-A multzo osagarri erlatiboa

Bi multzoren arteko kenketa edo multzo osagarri erlatiboa B - A moduan idazten da (edota B ∖ A) eta A-renak ez diren B-ren elementuek osatutako multzoa da:

$B\setminus A=B-A=\{x\in B\,/\,x\notin A\}$

A, B eta C hiru multzoren artean hurrengo erlazioak betetzen dira:

• C ∖ (A ∩ B) = (C ∖ A)∪(C ∖ B)
• C ∖ (A ∪ B) = (C ∖ A)∩(C ∖ B)
• C ∖ (B \ A) = (A ∩ C)∪(C ∖ B)
• (B ∖ A) ∩ C = (B ∩ C) ∖ A = B∩(C ∖ A)
• (B ∖ A) ∪ C = (B ∪ C) ∖ (A ∖ C)
• A ∖ A = ∅
• ∅ ∖ A = ∅
• A ∖ ∅ = A

A-ren osagarria A' da

Batzuetan, multzoak multzo unibertsal baten barnean har daitezke. Multzo unibertsal horren eta bere azpimultzo baten arteko multzo osagarri erlatiboari multzo osagarria deitzen zaio. Idazkerari dagokionez, U multzo unibertsala baldin bada eta A azpimultzo bat, A-ren osagarria U - A, U ∖ A, ∁_UA, A^∁ edo A' idazten da. Multzo osagarrien hainbat propietate honakoak dira:

• A ∪ A' = U
• A ∩ A' = ∅
• (A')' = A
• U' = ∅
• A ⊆ B baldin bada, orduan B ' ⊆ A'
• De Morganen legeak
  • (A ∪ B)' = A ' ∩ B'
  • (A ∩ B)' = A ' ∪ B'

Multzo osagarrien eta osagarri erlatiboen artean hurrengoak betetzen dira:

• A ∖ B = A ∩ B'
• (A ∖ B)' = A' ∪ B

Ondokoa beti betetzen da:

• A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)

Biderkadura kartesiarra

A eta B bi multzoren arteko biderkadura kartesiarra, A × B, a eta b elementuek osatzen dituzten (a, b) bikote ordenatuen multzoa da, non a ∈ A eta b ∈ B:

$A\times B=\{(a,b)\,/\,a\in A\,,\,b\in B\}$

Multzoak finituak badira (kardinala finitua baldin bada), biderkadura kartesiarraren kardinala bi kardinalen biderkadura da:

$|A\times B|=|A||B|$

Biderkadura kartesiarrak propietate hauek betetzen ditu:

• A × ∅ = ∅
• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

Multzo-teoria eskolan

Multzoa zenbaketaren aurrekaria da: multzo bateko elementuak zenbatzen dira beti.

Multzo hitzak obejktu bilduma moduan grafikoki edo fisikoki ilustratu daitekeen zein formalki adieraz daitekeen eraikuntza mental bat da. Eskola-matematiketan, multzo kontzeptua mailaka-mailaka sortzen eta eraikitzen joan behar da, hasieran ahozko hizkuntza eta aurrerago hizkuntza sinboliko berezia erabiliz.

Zenbaki natural kontzeptua elementu kopurua edo kardinal berdina duten multzoen propietatearen balio partikularra adierazteko erabiliko da. Horrela kontaketarako ezinbestekoa da zenbakien izenen segida ezagutzea eta zenbaki naturalaren eta multzo partikular baten arteko bijekzioa egiteko gaitasuna izatea.

Erreferentziak

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Multzo