Комплексные числа

Журнал Потенциал

Какие числа бывают

Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте вспомним числа, которые мы знаем. Самые простые числа — это натуральные, они обозначаются буквой $\,\!\mathbb {N}$:

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты. Натуральные числа мы можем складывать и умножать. Целые числа, обозначаемые $\,\!\mathbb {Z}$, расширяют множество натуральных чисел — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие отрицательных чисел позволяет нам вычитать любое число из любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталось меньшее. Вот примеры целых чисел:

$\,\!0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots$

Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых от пирога), были придуманы дробные числа $\,\!\mathbb {Q}$. Их также называют рациональными:

$\,\!{\frac {3}{8}},\;-{\frac {7}{2}},\;{\frac {1}{2}},\;-{\frac {2}{3}}\;\ldots$

Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно делить друг на друга и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя). Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел — это действительные (вещественные) числа $\,\!\mathbb {R}$.

Задача 1[8] Задача Архимеда

Докажите, что существуют иррациональные числа.

Рисунок 1. Длина диагонали единичного квадрата иррациональна

Решение.

Замечание: этот подход не является строгим в современном смысле. Нужно дать определение вещественных чисел и доказать, что среди них вообще существуют иррациональные числа. Например, в Фихтенгольце это делается с помощью Дедекиндового сечения, а уж потом доказывается, что корень из двух является примером такого числа.

Точнее эта задача звучит так: докажите, что есть отрезки, длина которых не является рациональным числом. Рассмотрим диагональ единичного квадрата. По теореме Пифагора, квадрат её длины есть

$\,\!c^{2}=1^{2}+1^{2}=2,$

то есть

$\,\!c={\sqrt {2}}.$

Докажем, что это число не рационально. Пусть это не так (применяем метод доказательства от противного). Тогда есть такие натуральные числа $\,\!m$ и $\,\!n$, что

$\,\!{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$

— несократимая дробь. Возведем равенство в квадрат и умножим на $\,\!n^{2}$:

$\,\!2={\frac {m^{2}}{n^{2}}},$ $\,\!2n^{2}=m^{2}.$

Отсюда следует, что $\,\!m$ четное, то есть $\,\!m=2m_{1}$, где $\,\!m_{1}$ какое-то натуральное число. Получаем:

$\,\!2n^{2}=(2m_{1})^{2},$ $\,\!2n^{2}=4m_{1}^{2},$ $\,\!n^{2}=2m_{1}^{2}.$

Из последнего уравнения следует, что $\,\!n$ тоже четное число. Итак, мы получили, что $\,\!m$ и $\,\!n$ четные числа. Но вначале мы предположили, что $\,\!{\frac {m}{n}}$ несократимая дробь. Таким образом, получили противоречие. А значит, наше предположение, что существуют натуральные $\,\!m$ и $\,\!n$ такие, что

$\,\!{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}},$

неверно. Конец решения.

Действительные числа очень обширны, с их помощью можно описывать любое количество вещества, любой объём жидкости, длину любого отрезка. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (только на ноль делить нельзя). Кроме того, можно брать корни из неотрицательных чисел и вычислять самые разные функции, например, синус, косинус, экспоненту и др. Действительные числа можно представлять в виде направленной прямой с выделенной точкой $\,\!O$. Точке $\,\!O$ соответствует число $\,\!0$. Справа находятся положительные числа, а слева — отрицательные. Такое представление называется «числовой осью»:

Задача 2[8]

а) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональна? Если да, то приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых иррациональна. Докажите, что сумма действительно иррациональна.

Решение

а) $\,\!(1-{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=1$;

б) $\,\!{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$.

Задача 3[9]

Докажите, что следующие числа не рациональны

а) $\,\!2{\sqrt {2}}$; б) $\,\!2{\sqrt {2}}+1$; в) $\,\!{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$;

г) $\,\!{\sqrt {7}}$; д) $\,\!{\sqrt[{3}]{3}}$; е) $\,\!{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}$.

Решение:

а) если $\,\!2{\sqrt {2}}$ рационально, то и $\,\!{\sqrt {2}}$ рационально, а это не так;

б) так же, как и в а);

в) возведите число в квадрат, и докажите, что результат не рационален.

г) аналогично доказательству иррациональности $\,\!{\sqrt {2}}$; из $\,\!{\sqrt {7}}=m/n$ следует, что и $\,\!m$ и $\,\!n$ делятся на $\,\!7$;

Кроме корней натуральных чисел и, вообще, корней различных многочленов с целочисленными коэффициентами действительные числа содержат бесконечное множество трансцендентных чисел. Например, число $\,\!\pi$, равное половине длины единичной окружности, является трансцендентным числом. Число $\,\!{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ также является трансцендентным. Трансцендентные числа — это числа, которые не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Доказательство того, что есть трансцендентные числа, довольно сложное и мы углубляться в эту тему не будем.

Суть в том, что действительные числа содержат все возможные длины — какой бы кусочек веревки вы не отрезали, длина его всегда будет действительным числом. Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел, которого, кажется, должно хватить для любых нужд. Но это не так. Существует ещё одно расширение чисел — комплексные числа. В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел. Комплексные числа хороши ещё тем, что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнения

$\,\!x^{2}+1=0,\quad x^{2}-2x+2=0,\quad x^{6}+10=0$

не имеют корней в действительных числах, зато в комплексных числах имеют.

Что такое комплексные числа?

Знакомство с мнимой единицей $\,\!i={\sqrt {-1}}$

Число $\,\!i={\sqrt {-1}}$ называется мнимой единицей. Комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице: $\,\!i^{2}=-1.$. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду

Рисунок 2. Комплексная плоскость. Каждая точка на плоскости соответствует комплексному числу. Координаты $\,\!a$ и $\,\!b$ соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа.

Примеры вычислений с мнимой единицей:

• $\,\!i^{3}=(i)^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i$;
• $\,\!i^{4}=\left(i^{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1$;
• $\,\!3\cdot (2+i)=3\cdot 2+3\cdot i=6+3i$;
• $\,\!(1+i)^{2}=1^{2}+2\cdot 1\cdot i+i^{2}=1+2i+(-1)=2i$.

Задача 4[8]

Вычислите следующие выражения:

а) $\,\!(1-i)^{2}$;

б) $\,\!i^{5}$ ;

в) $\,\!(1+{\sqrt {3}}i)^{2}$;

г) $\,\!(2-3i)(2+3i)$ ;

д) $\,\!(1+{\sqrt {3}}i)^{3}$;

е) $\,\!({\sqrt {3}}+i)^{3}$.

Решение

а) $\,\!-2i$ ;

б) $\,\!i$;

в) $\,\!2(-1+{\sqrt {3}}i)$;

г) $\,\!13$;

д) $\,\!-8$;

е) $\,\!8i$.

Определение 1

Комплексные числа $\,\!\mathbb {C}$ — это пара $\,\!(a,b)$ действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число $\,\!z=(a,b)$ записывают как

$\,\!z=a+b\cdot i,$

Число $\,\!a$ называется действительной частью числа $\,\!z$, а число $\,\!b$ — мнимой частью числа $\,\!z$. Их обозначают $\,\!Re\ z$ и $\,\!Im\ z$ соответственно:

$\,\!a=Re\ z,\quad b=Im\ z.$

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если понимать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости (рис. 2).

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

Задача 5[8]

Вычислите:

а) $\,\!(-i)^{2}$;

б) $\,\!(2+3i)+(7-i)$;

в) $\,\!(2+3i)(7-i)$;

г) $\,\!(1+i)(1-i)$;

д) $\,\!(2-3i)(3+2i)$;

е) $\,\!(3+4i)(3-4i)$.

Решение

а) $\,\!-1$;

б) $\,\!9+2i$;

в) $\,\!17+19i$;

г) $\,\!2$;

д) $\,\!12-5i$;

е) $\,\!9+16=25$.

Задача 6[9]

Вычислите:

а) $\,\!(1+i)({\sqrt {3}}+i)$;

б) $\,\!({\sqrt {3}}+i)(1+{\sqrt {3}}i)$;

в) $\,\!({\sqrt {3}}-i)^{3}$;

г) $\,\!(1-{\sqrt {3}}i)^{6}$;

д) $\,\!(1+{\sqrt {3}}i)(1-{\sqrt {3}}i)$;

Решение:

а) $\,\!-1+{\sqrt {3}}+(1+{\sqrt {3}})i$;

б) $\,\!4i$;

в) $\,\!-8i$;

г) $\,\!64$;

д) $\,\!4$;

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица $\,\!i$ была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом $\,\!i^{2}=-1$.

Задача 7[9]

Докажите, что любой многочлен от $\,\!i$ можно свести к линейному двучлену $a+b\cdot i$.

Задача 8[8]

Вычислите: а) $\,\!(1+i)^{2}$; б) $\,\!(1+i)^{10}$; в) $\,\!(1-i)^{101}$.

Решение

а) $\,\!2i$;

б) $\,\!2^{5}i$;

в) $\,\!2^{50}(i-1)$.

Задача 9[8]

Найдите комплексное число $\,\!z$ такое, что

а) $\,\!z(1+i)=1$; б) $\,\!z(2+i)=1-i$; в) $\,\!z(2+3i)=3-2i$; г) $\,\!z(1+i)=3+4i$.

Подсказка

Пусть

$\,\!z=a+b\cdot i$. Тогда из $\,\!z(1+i)=1$

следует

$\,\!(a+b\cdot i)(1+i)=1,$ $\,\!a+b\cdot i+a\cdot i-b=1,$ $\,\!(a-b)+(a+b)\cdot i=1+0\cdot i.$

Задача 10[9]

Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

Задача 11[9]

Найдите сумму $\,\!1+i+i^{2}+\ldots +i^{100}$.

Решение: $\,\!1$.

Подсказка:

Чему равны частичные суммы $\,\!1+i$, $\,\!1+i+i^{2}$, $\,\!1+i+i^{2}+i^{3}$, $\,\!1+i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$?

Задача 12[9]

Найдите $\,\!(1+i{\sqrt {3}})^{30}$.

Решение: $\,\!2^{30}$.

Подсказка:

Чему равно $\,\!(1+i{\sqrt {3}})^{3}$?

Задача 13[9]

Найдите все $\,\!z=a+bi$, для которых верно равенство $\,\!z^{3}=1$.

Решение:

$\,\!1$, $\,\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$, $\,\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$.

Подсказка:

$\,\!(-1+{\sqrt {3}}i)^{3}-8$.

Задача 14[8]

Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Задача 15[8]

Найдите число $\,\!z$, квадрат которого есть чисто мнимое число.

Решение

$\,\!1+i$, $\,\!1-i$.

Задача 16[8]

Найдите число $\,\!z$, отличное от $\,\!2$ и $\,\!-2$, такое, что $\,\!z^{4}=16$.

Решение

$\,\!2i$ и $\,\!-2i$.

Задача 17[9]

Найдите число, отличное от $\,\!-2$, куб которого равен $\,\!-8$.

Решение

$\,\!1+{\sqrt {3}}i$ и $\,\!1-{\sqrt {3}}i$.

Задача 18[10]

Найдите (отметьте) на комплексной плоскости все числа $\,\!z=a+b\cdot i$, квадрат которых равен

a) чисто мнимому числу;

б) действительному числу;

в) действительному положительному числу.

Решение:

а) $\,\!|Re\ z|=|Im\ z|$ — две пересекающиеся прямые $\,\!a=b$, $\,\!a=-b$;

б) $\,\!Im\ z=0$ или $\,\!Re\ z=0$ — две пересекающиеся прямые $\,\!a=0$, $\,\!b=0$; в) $\,\!Im\ z=0$ — одна прямая $\,\!b=0$.

Cопряженные числа. Модуль. Деление

Cопряженные числа

Определение 3

Пусть

$\,\!z=a+b\cdot i.$

Тогда число

$\,\!{\overline {z}}=a-b\cdot i$

называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу $\,\!z$.

Комплексное число $\,\!z$ и комплексно-сопряженное к нему число $\,\!{\overline {z}}$ отличаются знаком мнимой части, действительная часть у них одинаковая:

$\,\!Re(z)=Re({\overline {z}}),\quad Im(z)=-Im({\overline {z}}).$

Задача 19[7]

Докажите, что $\,\!(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$.

Задача 20[8]

Найдите, чему равны выражения а) $\,\!z+{\overline {z}}$;

б) $\,\!z-{\overline {z}}$; в) $\,\!z\cdot {\overline {z}}$ для $\,\!z=3+4i$.

Решение

а) $\,\!2a$; б) $\,\!8i$; в) $\,\!25$.

Задача 21[9]

Докажите тождества:

$\,\!{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$ и $\,\!{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}.$

Задача 22[9]

Докажите, что

$\,\!{\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}.$

Подсказка Используйте задачу 21 и метод математической индукции.

Задача 23[9]

Пусть $\,\!P(z)$ — многочлен от $\,\!z$. Докажите, что

$\,\!P({\overline {z}})={\overline {P(z)}}.$

Задача 24[8]

Докажите, что числа $\,\!z+{\overline {z}}$ и $\,\!z\cdot {\overline {z}}$ действительные.

Задача 25[9]

Докажите, что многочлен от $\,\!z$ равный

$\,\!(z-z_{0})(z-{\overline {z_{0}}}),$

где $\,\!z_{0}$ — произвольное комплексное число, имеет действительные коэффициенты (если раскрыть скобки и привести подобные).

Задача 26[9]

Докажите, что если комплексное число $\,\!z_{0}$ является корнем трехчлена $\,\!ax^{2}+bx+c$, где $\,\!a,b$ и $\,\!c$ — действительные числа, то $\,\!{\overline {z_{0}}}$ тоже является корнем.

Задача 27[9]

Вычислите число $\,\!(1+i)^{10}\cdot {\overline {(1+i)^{10}}}$.

Решение

$\,\!2^{10}$.

Задача 28[9]

Найдите целые $\,\!a$ и $\,\!b$ такие, что

а) $\,\!(1+{\sqrt {2}})^{3}=a+b{\sqrt {2}}$; б) $\,\!(1-{\sqrt {2}})^{3}=a+b{\sqrt {2}}$. Как отличаются ответы для а) и б)?

Задача 29[9]

Найдите целые $\,\!a$ и $\,\!b$ такие, что

а) $\,\!(1+2i)^{3}=a+bi$; б) $\,\!(1-2i)^{3}=a+bi$. Как отличаются ответы для а) и б)?

Задача 30[9]

Даны числа $\,\!\alpha =4-2{\sqrt {3}}$ и $\,\!\beta =4+2{\sqrt {3}}$. Докажите, что $\,\!\alpha \beta$, $\,\!(\alpha +\beta )$, $\,\!\alpha ^{n}+\beta ^{n}$ целые числа при натуральном $\,\!n$. Найдите $\,\!\alpha ^{3}+\beta ^{3}$.

Решение

$\,\!\alpha ^{3}+\beta ^{3}=2(4^{3}+3\cdot 4\cdot (2{\sqrt {3}})^{2})=416$. Подсказка При решении можно использовать формулу

$\,\!(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

Чему равно $\,\!(a+b)^{3}+(a-b)^{3}$?

Задача 31[9]

Число $\,\!(1+{\sqrt {3}})^{3}+(1-{\sqrt {3}})^{3}$ целое. Найдите его.

Решение

$\,\!20$.

Задача 32[9]

Число $\,\!(1+{\sqrt {3}}i)^{3}+(1-{\sqrt {3}}i)^{3}$ целое. Найдите его.

Решение

$\,\!-16$.

Задача 33[9]

Даны два действительных числа $\,\!\alpha$ и $\,\!\beta$ такие, что $\,\!\alpha \beta$ и $\,\!(\alpha +\beta )$ — целые числа. Докажите, что $\,\!\alpha ^{n}+\beta ^{n}$ будет целым числом при любом натуральном $\,\!n$.

Задача 34[9]

Даны два комплексных числа $\,\!\alpha$ и $\,\!\beta$ такие, что $\,\!\alpha \beta$ и $\,\!(\alpha +\beta )$ действительные числа. Докажите, что $\,\!\alpha ^{n}+\beta ^{n}$ будет действительным числом при любом натуральном $\,\!n$.

Задача 35[8]

Покажите, что

$\,\!z\cdot {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}.$

Модуль

Определение 4

Пусть $\,\!z=a+b\cdot i$. Модулем комплексного числа $\,\!z$ называется число

$\,\!|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$

— длина отрезка $\,\!Oz$ на комплексной плоскости.

Посмотрите на рисунок 2. Модуль числа $\,\!|z|$ — это длина отрезка $\,\!Oz$.

$\,\!|z|^{2}=z\cdot {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}.$

Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.

Задача 36[8]

Домножьте на сопряженные следующие числа а) $\,\!1+i$; б) $\,\!-1-i$; в) $\,\!2-3i$; г) $\,\!-3i$;

д) $\,\!-3$;

е) $\,\!i(a+b\cdot i)$.

Задача 37[9]

Докажите тождество $\,\!(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$. Подсказка Пусть $\,\!z=a+b\cdot i$, $\,\!w=c+d\cdot i$. Запишите равенство

$\,\!(z{\overline {z}})\cdot (w{\overline {w}})=(zw)({\overline {zw}}),$

которое соответствует равенству

$\,\!|z|^{2}\cdot |w|^{2}=|zw|^{2}.$

Таким образом, утверждение последней задачи равносильно следующему утверждению:

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

Деление

Идея домножения на сопряженное помогает нам определить операцию деления комплексных чисел. Рассмотрим деление на примере:

$\,\!{\frac {1-i}{2+3i}}=?$

Умножим и числитель и знаменатель на одно и то же число $\,\!2-3i$ (это число, сопряженное знаменателю). Получим:

$\,\!{\frac {(1-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}}={\frac {2-3i-i(2-3i)}{2^{2}-(3i)^{2}}}={\frac {2-3i-2i+3\cdot i^{2}}{4+9}}={\frac {2-3i-2i-3}{13}}={\frac {-1-5i}{13}}.$

В знаменателе стоит $\,\!(2+3i)(2-3i)=2^{2}-(3i)^{2}=2^{2}+3^{2}=4+9=13$ — действительное число. Разделить комплексное число на действительное не сложно: нужно просто действительную и комплексную часть разделить на это число. Получаем:

$\,\!{\frac {1-i}{2+3i}}=-{\frac {1}{13}}-{\frac {5}{13}}i.$

Алгоритм деления на комплексное число аналогичен алгоритму избавления от иррациональности в знаменателе. Например:

$\,\!{\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}={\frac {(2+{\sqrt {3}})}{(2-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {3}})}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{2^{2}-\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}.$

При делении комплексных чисел $\,\!{\frac {v}{w}}$ нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тогда в знаменателе окажется действительное число $\,\!w{\overline {w}}$ — на него мы делить умеем:

$\,\!{\frac {v}{w}}={\frac {v{\overline {w}}}{w{\overline {w}}}}={\frac {v{\overline {w}}}{|w|^{2}}}.$

Абстрактный подход

Комплексные числа можно рассматривать как множество пар $\,\!(a,b)$ действительных чисел, на котором специальным образом определены операция сложения, умножения и деления. Паре $\,\!(a,b)$ соответствует число $\,\!a+b\cdot i$. Операция сложения на этих парах определяется очевидным образом — надо просто сложить соответствующие элементы пар:

$\,\!(a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+b_{1}\cdot i)+(a_{2}+b_{2}\cdot i)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\cdot i=(a_{1}+a_{2},\;\;b_{1}+b_{2}).$

Найдем, как определяется умножение для этих пар:

$\,\!(a_{1},\;b_{1})\times (a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+b_{1}\cdot i)\times (a_{2}+b_{2}\cdot i)=a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot i+b_{1}\cdot a_{2}\cdot i+b_{1}\cdot b_{2}\cdot (i)^{2}=(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot b_{2}+b_{1}\cdot a_{2})\cdot i=(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2},\;\;a_{1}\cdot b_{2}+b_{1}\cdot a_{2}).$

Таким образом, мы можем дать такое определение комплексным числам:

Определение 5

Комплексные числа — это множество пар действительных чисел, на которых определены операции сложения « $\,\!+$» и умножения « $\,\!\times$» по следующим правилам:

$\,\!(a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;\;b_{1}+b_{2})$ $\,\!(a_{1},\;b_{1})\times (a_{2},\;b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2},\;\;a_{1}\cdot b_{2}+b_{1}\cdot a_{2}).$

Задача 38[9]

Покажите, что а) $\,\!(0,\;1)\times (0,\;1)=(-1,\;0)$; б) $\,\!(1,\;0)\times (c,\;d)=(c,\;d)$; в) $\,\!(a,\;0)\times (b,\;0)=(ab,\;0)$; г) $\,\!(a,\;0)\times (c,\;d)=(ac,\;ad)$; д) $\,\!(0,\;b)\times (0,\;a)=(-ab,\;0)$.

Такой подход к определению комплексных чисел требует доказательства многих фактов, которые в предыдущей части (когда мы $\,\!i$ рассматривали как некоторую переменную, для которой выполнено $\,\!i^{2}=-1$) были очевидны.

Задача 39[10]

Пусть $\,\!z$, $\,\!w$, $\,\!v$ комплексные числа. Докажите, что верны следующие свойства:

$\,\!z\times w=w\times z$ (коммутативность умножения),

$\,\!(z\times w)\times v=z\times (w\times v)$ (ассоциативность умножения), $\,\!(z+w)\times v=(z\times v)+(w\times v)$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Вычитание определяется очевидным образом:

$\,\!(a_{1},\;b_{1})-(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}-a_{2},\;\;b_{1}-b_{2}).$

Определить операцию деления несколько сложнее. Деление — это операция обратная к умножению. Следующая теорема утверждает корректность операции деления.

Теорема 1 (О существовании деления)

Пусть даны два комплексных числа $\,\!v=a+b\cdot i\neq 0$ и $\,\!w=c+d\cdot i$. Тогда уравнение

[1] $\,\!z\times v=w$

относительно $\,\!z$ имеет ровно одно решение.

Это решение обозначим как частное:

$\,\!{\frac {w}{v}}.$

В принципе, мы уже научились делить в предыдущей части — нужно просто числитель и знаменатель умножить на сопряженное, после чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя. Это значит, что хотя бы одно решение у уравнения [1] точно есть. Чтобы показать единственность решения, применим метод доказательства от противного. Пусть у нас есть два решения уравнения [1]:

$\,\!z_{1}\times v=w,$ $\,\!z_{2}\times v=w,$

где $\,\!z_{1}\neq z_{2}$. Тогда после вычитания одного уравнения из другого получим

$\,\!(z_{1}-z_{2})\times v=0.$

Но мы знаем, что модуль произведения равен произведению модулей. Оба множителя, $\,\!(z_{1}-z_{2})$ и $\,\!v$, не равны нулю, значит их модули не равны нулю, значит их произведение не может быть равно нулю, так как модуль произведения равен произведению модулей. Поэтому последнее равенство не может быть верным, и не может быть два разных решения у уравнения [1]. Есть другой подход к доказательству этой теоремы. Пусть

$\,\!z=(x,\;y),$ $\,\!w=(a,\;b),$ $\,\!v=(c,\;d).$

Распишем $\,\!z\times v=w$ подробно:

$\,\!(x,\;y)\times (a,\;b)=(c,\;d),$ $\,\!(xa-yb,\;xb+ya)=(c,\;d).$

Последняя строчка соответствует системе из двух уравнений:

$\,\!\left\{{\begin{matrix}xa-yb=c,\\xb+ya=d.\end{matrix}}\right.$

Когда эта система имеет решение? Умножим первое уравнение на $\,\!a$, а второе — на $\,\!b$:

$\,\!xa^{2}-yab=ca,$ $\,\!xb^{2}+yab=db.$

И сложим их:

$\,\!x(a^{2}+b^{2})=ca+db,$ $\,\!x={\frac {ca+db}{a^{2}+b^{2}}}.$

Задача 40[10]

Покажите, что

$\,\!y={\frac {da-cb}{a^{2}+b^{2}}}.$

Как видите, $\,\!x$ и $\,\!y$ определяются вполне однозначно, если $\,\!a^{2}+b^{2}\neq 0$, то есть когда комплексное число $\,\!v\neq 0$. Это и означает, что любое комплексное число можно делить на любое другое, не равное $\,\!0$, комплексное число.

Геометрическая интерпретация

В этой части мы будем изучать различные геометрические свойства комплексных чисел: преобразования комплексной плоскости, множества на комплексной плоскости, геометрическую интерпретацию сложения и умножения. Итак, комплексные числа образуют плоскость. Координатные оси на этой плоскости соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа. Два числа — действительная часть $a$ ($Re\ z$) и мнимая часть $b$ ($Im\ z$) — определяют комплексное число на комплексной плоскости.

Преобразования комплексной плоскости

Поговорим о том, какие преобразования плоскости соответствуют различным операциям с комплексными числами.

Задача 41[8]

Какое преобразование плоскости переводит $z$ в $2z$?

Решение

При этом преобразовании и действительная, и мнимая части увеличиваются в два раза. Число $(1+i)$ переходит в $(2+2i)$, число $(-i)$ переходит в $(-2i)$. Все числа удаляются от точки $O$ — они становятся в два раза дальше от неё, но при этом остаются в том же направлении, что и до преобразования. Комплексная плоскость как бы растягивается в два раза относительно точки $O$. Смотрите рисунки 3 и 4.

Примечание Это преобразование называется гомотетией относительно точки $O$ с коэффициентом $2$. Гомотетия с коэффициентом $1/2$ будет сжимать плоскость в два раза относительно центра.

Задача 42[9]

Какое преобразование плоскости

а) переводит $z$ в $z/2$?

б) переводит $z$ в $z+1$?

в) переводит $z$ в ${\overline {z}}$?

г) переводит $z$ в $-z$?

д) переводит $z$ в $-{\overline {z}}$?

е) переводит $z$ в $i\cdot z$?

ж) переводит $z$ в $-i\cdot z$?

Используйте рисунки 3—8.

Рис. 3. Гомотетия растягивающая: $z\mapsto 2z$.	Рис. 4. Гомотетия сжимающая: $z\mapsto z/2$.	Рис. 5. Векторный перенос: $z\mapsto z+w$, $w=2+i$.

Задача 43[9]

На плоскости задано две системы координат: $xOy$ и $x'Oy'$. Система координат $x'Oy'$ повернута относительно $xOy$ на 45° по часовой стрелке. Найдите, как по координатам $x$ и $y$ некоторой точки $A$ определить её координаты $x'$ и $y'$.

Подсказка

Заметьте, что если мы точку $A$ удалим от точки пересечения координат $O$ так, что $x$ и $y$ увеличатся в два раза, то и координаты $x'$ и $y'$ увеличатся в два раза. Отсюда сразу следует, что

$x'=ax+by,$ $y'=cx+dy,$

где $a$, $b$, $c$ и $d$ — некоторые вещественные числа. Осталось подобрать их. Рассмотрим точки с координатами $(x,y)$ равными $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(0,1)$. Какие координаты $(x',y')$ им соответствуют?

Примечание

Эту задачу можно интерпретировать по-другому: У нас есть одна единственная система координат. Мы осуществляем поворот всей плоскости против часовой стрелки на 45° относительно точки $O$, при этом оси координат $xOy$ остаются на месте. Все точки плоскости, кроме точки $O(0,0)$ переместились. Пусть точка $(x,y)$ переместилась в точку с координатами $(x',y')$. Найдите зависимость $(x',y')$ от $(x,y)$.

Рис. 6. $z\mapsto i\cdot z$.	Рис. 7. $z\mapsto {\overline {z}}$.	Рис. 8. $z\mapsto -z$.

Задача 44[9]

Какое преобразование плоскости переводит $z$ в:

а) $z(1+i)/{\sqrt {2}}$;

б) $z(1-i)/{\sqrt {2}}$;

в) $z(1-{\sqrt {3}}i)/2$?

Подсказка Докажите, что модуль $z$ (расстояние от $z$ до центра $O$) при преобразованиях не меняется. Эти преобразования — повороты. Какие именно?

Задача 45[9]

Запишите формулу $z\mapsto f(z)$ для симметрии относительно

а) мнимой оси;

б) прямой $Im\ z=Re\ z$.

Задача 46[9]

Запишите формулу $z\mapsto f(z)$ для симметрии относительно точки ${w=2+i}$.

Решение

Подсказка Докажите, что искомое преобразование имеет вид $f(z)=v-z$, где $v$ какое-то комплексное число и учтите, что $f(w)=w$.

Задача 47[10]

Запишите формулу симметрии относительно прямой, проходящей через $O$ под углом $\alpha$ к действительной оси.

Решение

Обозначим $e^{\alpha i}=\cos \alpha +i\sin \alpha$. Умножение на это число соответствует повороту. Симметрию относительно прямой, направленной под углом $\alpha$ к действительной оси можно представить как последовательность поворота на $-\alpha$), потом симметрии относительно действительной оси, а потом поворота на $\alpha$: $z\mapsto e^{\alpha i}({\overline {e^{-\alpha i}z}})=e^{2\alpha i}({\overline {z}})=(\cos 2\alpha +i\sin 2\alpha )(a-bi)$.

Множества на комплексной плоскости и уравнения

Задача 48[9]

Найдите (нарисуйте) множество точек (комплексных чисел) на комплексной плоскости, для которых верно равенство

$z{\overline {z}}=1.$

Задача 49[9]

Чему равно расстояние на комплексной плоскости между числами $z$ и $w$ (запишите это число как функцию от $z$, $w$, ${\overline {z}}$, ${\overline {w}}$)?

Решение

$|z-w|$.

Задача 50[9]

Запишите уравнение на комплексное число $z$, решением которого является круг на комплексной плоскости с центром $1+2i$ и радиусом $2$.

Задача 51[9]

Где находятся комплексные числа $z$, для которых

а) $|z-1|=1$;

б) $iz=1+i$;

в) $z={\overline {z}}$;

г) $z{\overline {z}}=4$;

д) $z+{\overline {z}}=z{\overline {z}}$;

е) $|z-1|=|z+1|$ ?

Задача 52[9]

Параметр $t$ пробегает все действительные числа. Какое множество на комплексной плоскости пробежит число $z$, если

а) $z=(1+i)t\,$;

б) $z=(1+i\cdot t)^{2}$;

д) $z={\frac {1}{1+it}}$;

е) $z={\frac {i}{1-it}}$;

ж) $z={\frac {1+it}{1t}}$;

з) $z={\frac {1+it}{1-it}}$;

и) $z={\frac {it}{1-it}}$;

к) $z={\frac {t}{1+it}}$

Решение

Пусть $z=x+yi$.

а) прямая $x=y$;

б) парабола;

в) парабола — то же самое что и в предыдущем пункте, только нужно домножить на $(-i)^{2}$ (повернуть на 90° и сделать сопряжение (симметрия относительно $Ox$);

г) прямая $x=0$.

Подсказка Попробуйте подставить различные значения $t$, найти соответствующие $z$ и отметить их на комплексной плоскости. Затем нужно соединить их гладкой кривой.

Задача 53[10]

Параметр $t$ пробегает все действительные числа. Какое множество на комплексной плоскости пробежит число $z$, если

а) $z=(t+i)(1+i\cdot t)$;

б) $z=(t+i)(1+i\cdot t)+t/100$ ?

Решение

Пусть $z=x+yi$.

а) луч, направленный вниз от точки $z=-i$, так как $z=(t+i)(1+i\cdot t)=-i(t+i)(t-i)=-i|t+i|^{2}$;

б) «худая» парабола, направленная вниз.

Задача 54[9]

Докажите, что треугольник с вершинами $0$, $1$, $z$ подобен треугольнику с вершинами $0$, $1$, $1/z$.

Задача 55[9]

Докажите, что отношение двух комплексных чисел равно действительному числу тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой с $O$.

Задача 56[9]

Опишите множество комплексных чисел $z$, для которых число ${\frac {z}{z-1}}$ является

а) чисто мнимым;

б) действительным.

Подсказка

а) Алгебраический подход: положите ${\frac {z}{z-1}}=i\cdot t$, где $t$ — любое действительное число выразите $z$ через $t$; попробуйте подставить $t=0$, $1$, $-1$, $2$, $10000$ и поставить соответствующие $z$ на плоскости.

Геометрический подход: найдите множество чисел $z$ на плоскости, для которых треугольник $z$, $1$, $0$ имеет прямой угол при вершине $z$.

б) Алгебраический подход: положите ${\frac {z}{z-1}}=t$, где $t$ — любое действительное число и выразите $z$ через $t$.

Геометрический подход: найдите множество чисел $z$ на плоскости, для которых точки $z$, $1$ и $0$ лежат на одной прямой.

Тригонометрическое представление

Посмотрите на рисунок 9. Комплексное число однозначно определяется своим модулем (расстоянием до точки $O$) и углом между $Oz$ и действительной осью — этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так:

$\arg z=\phi .$

Рис.9 Комплексное число однозначно определяется своим модулем $r$ и аргументом $\phi$.

Определение 6

Комплексное число с модулем $r$ и аргументом $\phi$

мы будем обозначать как $r\cdot e^{i\phi }.$

Задача 57[9]

Докажите, что действительная и мнимая части числа $r\cdot e^{i\phi }$ равны

$a=r\cos \phi ,\quad b=r\sin \phi$

и

$r\cdot e^{i\phi }=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi ),$

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi .$

Задача 58[9]

Запишите в виде $a+bi$ следующие комплексные числа:

а) $e^{\pi i}$;

б) $e^{-\pi i}$;

в) $e^{\pi i/2}$;

г) $2e^{{\frac {\pi }{4}}i}$;

д) $4e^{-{\frac {\pi }{6}}i}$;

е) $6{\sqrt {16}}$.

Задача 59[9]

Запишите в виде $r\cdot e^{\phi i}$ ($r,\phi \in Re\$, $r>0$) следующие комплексные числа:

а) $1-i$;

б) $-1+{\sqrt {3}}i$;

в) $-10-10i$;

г) $111\cdot ({\sqrt {3}}+i)$;

д) $(-\cos 25^{\circ }-i\sin 25^{\circ })$;

е) $(\cos 15^{\circ }-i\sin 15^{\circ })$.

Теорема 2

При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются а аргументы складываются:

$(r_{1}\cdot e^{i\phi _{1}})\cdot (r_{2}\cdot e^{i\phi _{2}})=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}.$

Доказательство теоремы отложим на потом. Посмотрите на рисунок 10, где пояснено содержание теоремы.

Рис. 10. При умножении чисел их модули умножаютcя, a аргументы складываются: $|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$, $\arg z_{1}\cdot z_{2}=\arg z_{1}+\arg z_{2}$

Приведем несколько примеров того, как работает эта теорема:

Пример 1.

$i=e^{{\frac {\pi }{2}}i},$ $i\cdot i=e^{{\frac {\pi }{2}}i}\cdot e^{{\frac {\pi }{2}}i}=e^{i{\frac {\pi }{2}}+i{\frac {\pi }{2}}}=e^{i\pi }.$

Пример 2.

$(1+i)={\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {\pi }{4}}i}.$

Величину $(1+i)^{2}$ вычислим двумя способами:

$(1+i)\cdot (1+i)=1+2\cdot 1\cdot i+(i)^{2}=2i$

и в то же время

$(1+i)\cdot (1+i)={\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {\pi }{4}}i}\cdot {\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {\pi }{4}}i}=({\sqrt {2}}{\sqrt {2}})\cdot e^{{\frac {\pi }{4}}i+{\frac {\pi }{4}}i}=2e^{{\frac {\pi }{2}}i}=2i.$

Как видите, оба метода приводят к одному и тому же результату.

Пример 3.

$({\sqrt {3}}+i)=2\cdot e^{i{\frac {\pi }{6}}},\quad i=e^{i{\frac {\pi }{2}}}.$

Величину $({\sqrt {3}}+i)\cdot i$ вычислим двумя способами:

$({\sqrt {3}}+i)\cdot i={\sqrt {3}}i+i^{2}=-1+{\sqrt {3}}\cdot i$

и в то же время

$({\sqrt {3}}+i)\cdot i=2\cdot e^{i{\frac {\pi }{6}}}\cdot e^{i{\frac {\pi }{2}}}=2\cdot e^{i{\frac {\pi }{6}}+i{\frac {\pi }{2}}}=2\cdot e^{i{\frac {2\pi }{3}}}=2\cdot (\cos 2\pi /3+i\sin 2\pi /3)=2\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right).$

в итоге снова получаем $-1+{\sqrt {3}}\cdot i$.

Доказательство теоремы 2.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

$(\cos \alpha +i\sin \alpha )\cdot (\cos \beta +i\sin \beta )=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta ).$

Это действительно так. Раскрывая левую часть, получим:

$\,\!(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\cos \beta \sin \alpha ).$

В скобках стоят формулы для косинуса суммы и синуса суммы.

Примечание Интересна следующая интерпретация комплексных чисел: каждое комплексное число $z=r\cdot e^{\phi i}$ — это преобразование комплексной плоскости, а именно, гомотетия относительно центра $O$ с коэффициентом $r$ и поворот против часовой стрелки на угол $\phi$. Тогда умножение комплексных чисел соответствует композиции соответствующих преобразований.

Задача 60[10]

Найдите чему равно $i^{i}$.

Решение

$e^{-\pi /2}$

Задача 61[10]

Рассмотрите два уравнения:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi ,$ $e^{-i\phi }=\cos \phi -i\sin \phi .$

Выразите из них $\cos \phi$ и $\sin \phi$

Задача 62[10]

Найдите значение $\cos(2i)$.

Покажите, что это действительное число, большее $1$.

Задача 63[10]

Найдите

а) $z$ такое, что $\cos z=2$ ; б) $\arcsin(-2)$;

в) $\arccos(i)$;

Решение

а)$i\ln(2+{\sqrt {3}})$;

б) $-\pi /2+i\ln(2+{\sqrt {3}})$;

в) $\pi /2+i\ln({\sqrt {2}}-1)$.

Извлечение корней

Возвести число в $n$-ую степень значит возвести в $n$-ую степень модуль, а аргумент умножить на $n$:

$z^{n}=\left(|z|\cdot e^{i\arg z}\right)^{n}=|z|^{n}\cdot e^{in\arg z}.$

Это правило следует непосредственно из теоремы 2 предыдущего параграфа.

Задача обратная возведению в $n$-ую степень — это извлечение корней $n$-ой степени.

Задача 64[9]

Дано уравнение относительно $z$:

$z^{n}=w,$ [3]

где $w$ — некоторое комплексное число. Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие этому уравнению.

Рис. 11. Корни уравнений: а) $z^{4}=1$, б) $z^{3}=1$, в) $z^{10}=1$

Прежде, чем решать это общее уравнение, рассмотрим частный случай $n=10$, $w=1$:

$z^{10}=1.$

Один из корней равен $1$, второй равен $(-1)$. Есть ли другие корни? Так как $|z^{n}|=|z|^{n}$, то корни этого уравнения имеют единичный модуль
$|z|=1$ и лежат на единичной окружности. Комплексные числа, лежащие на единичной окружности, имеют вид:

$z=e^{\phi i}.$

После возведения в степень имеем:

$z^{n}=e^{n\phi i}.$

Осталось найти такие $\phi$, что

$e^{n\phi i}=1.$

Последнее равенство верно, когда аргумент $n\phi$ кратен полному углу $2\pi$:

$n\phi =2\pi k,$ $\phi ={\frac {2\pi }{n}}k.$

Получили, что все комплексные числа вида

$z_{k}=e^{k{\frac {2\pi }{n}}i},\quad k=0,\;1,\ldots ,\;n-1,$

являются корнями уравнения $z^{n}=1$. Корень $z_{n}$ совпадает с корнем $z_{0}$.

Для $n=10$ эти числа отмечены на рисунке 11(в).

Задача 65[9]

Найдите все корни уравнения $z^{3}=1$.

Задача 66[9]

Найдите все корни уравнения $z^{3}=-1$.

Теперь нетрудно записать общее решение для уравнения [3]. Если $w=\rho e^{\alpha i}$, а $z=r\cdot e^{\phi i}$, то уравнение

$z^{n}=w$

можно записать как

$r^{n}\cdot e^{n\phi i}=\rho \cdot e^{\alpha i}.$

Числа $\rho$ и $r$ действительны и положительны. Модули правой и левой части должны быть равны, Поэтому

$r^{n}=\rho .$

Кроме того, аргументы правой и левой части должны совпадать с точностью до $2\pi$, то есть

$n\phi =\alpha +k\cdot 2\pi .$

Из первого уравнения $r$ определяется однозначно как $r={\sqrt[{n}]{\rho }}$. Аргумент $\phi$ может иметь $n$ различных значений, которые соответствуют $k=0$, $1$, $2$, $\ldots$, $n-1$.

Теорема 3.

Уравнение

$z^{n}=w,\quad w\neq 0,$

имеет ровно $n$ корней. Первый корень $z_{0}$ имеет модуль, равный корню $n$-ой степени из модуля $w$, а аргумент — в $n$ раз меньший, чем аргумент $w$:

$|z_{0}|={\sqrt[{n}]{|w|}},\quad \arg z_{0}={\frac {\arg w}{n}}.$

Остальные корни определяются через $z_{0}$:

$z_{k}=z_{0}\cdot e^{k{\frac {2\pi }{n}}},\quad k=1,\,2,\ldots ,n-1.$

Докажите эту теорему самостоятельно.

Как видите, чтобы найти все корни уравнения $z^{n}=w$, достаточно найти один корень $z_{0}$, а остальные корни получатся умножением его на $e^{k\cdot {\frac {2\pi }{n}}}$, $k=1$, $\ldots$, $n-1$.

Задача 67 [9]

Найдите все корни уравнений

а) $z^{3}=125$;

б) $z^{4}+125z=0$;

в) $z^{4}=i$;

г) $z^{4}=-i$;

д) $z^{6}=6^{6}i$;

е) $z^{6}=(1+i)^{6}$.

Задача 68 [9]

Решите уравнения

а) $z^{3}+z^{2}+z+1=0$,

б) $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0$.

Подсказка Домножьте уравнения на $(1-z)$.

Многочлены

Многочлены от $x$ — это то, что можно получить из чисел и переменной $x$ с помощью умножения (в узком смысле без деления), сложения и вычитания. Многочлены можно умножать, складывать и вычитать, получая снова многочлены. Рассмотрим многочлены с действительными коэффициентами от переменной $x$.

Примеры многочленов:

$p(x)=x^{2}-1,$ $p(x)=(x^{10}-1)\cdot x,$ $p(x)=-5+x^{10}+x,$ $p(x)=(x-1)\cdot (x+7)\cdot (x^{2}+x+1)+x.$

Все многочлены, если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, имеют вид

$p(x)=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots +a_{1}\cdot x+a_{0}.$

Числа $a_{1},\ldots ,a_{n}$ называются коэффициентами многочлена. Коэффициент $a_{n}$, $a_{n}\neq 0$, называется старшим коэффициентом, а число $n$ — степенью многочлена

Задача 69 [8]

Найдите степени многочленов, приведенных выше.

Задача 70 [9]

Докажите, что при умножении многочленов их степени складываются, а старшие (младшие) коэффициенты умножаются, то есть степень многочлена, равного произведению двух других, равна сумме их степеней, а старший (младший) коэффициент равен произведению их старших (младших) коэффициентов.

Задача 71 [9]

Раскройте скобки и приведите подобные:

а) $(x+1)(x+2)(x+3)$ ;

б) $(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})$ ;

в) $(1-x)(1-x^{2})(1-x^{4})$ ;

г) $(1+z+z^{2}+z^{3})(1-z)$ ;

д) $(1+z)^{3}(1-z)^{3}$ ;

е) $(1+z)^{3}+(1-z)^{3}$ ;

ж) $(1-z)(1-2z)(1-3z)+(1+z)(1+2z)(1+3z)$.

Деление многочленов

Умножать и складывать многочлены просто. Оказывается, их можно ещё и делить. Рассмотрим деление многочленов на примере:

${\frac {x^{5}-x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}=?$

Cтепень числителя равна $5$, а знаменателя — $2$. Давайте вычтем и добавим к числителю $x^{3}(x^{2}+1)=x^{5}+x^{3}$, получим:

${\frac {x^{5}-x^{3}+x+1+x^{3}(x^{2}+1)-x^{3}(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=x^{3}+{\frac {x^{5}-x^{3}+x+1-x^{3}(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=x^{3}+{\frac {x^{5}-x^{3}+x+1-x^{5}-x^{3}}{x^{2}+1}}=x^{3}+{\frac {-2x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}.$

Теперь старшая степень числителя равна $3$. Чтобы уничтожить слагаемое $(-2x^{3})$ нужно прибавить к знаменателю $2x(x^{2}+1)$. Мы прибавляем и отнимаем $2x(x^{2}+1)$:

${\frac {-2x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}={\frac {-2x^{3}+x+1+2x(x^{2}+1)-2x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=-2x+{\frac {-2x^{3}+x+1+2x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}=-2x+{\frac {-2x^{3}+x+1+2x^{3}+2x}{x^{2}+1}}=-2x+{\frac {3x+1}{x^{2}+1}}.$

Дальше этот процесс продолжать нельзя, поскольку степень числителя стала меньше, чем степень знаменателя. Таким образом, результат деления можно записать так:

${\frac {x^{5}-x^{3}+x+1}{x^{2}+1}}=x^{3}-2x+{\frac {3x+1}{x^{2}+1}}.$

Здесь $x^{3}-2x$ есть результат деления, а $3x+1$ — остаток от деления.

Примеры деления многочленов:

${\frac {x^{2}+1}{x^{2}-1}}=1+{\frac {-2}{x^{2}-1}},$ ${\frac {x^{4}-1}{x^{2}-1}}=x^{2}+1+{\frac {0}{x^{2}-1}},$ ${\frac {x^{4}-1}{x-1}}=x^{3}+x^{2}+x+1+{\frac {0}{x-1}},$ ${\frac {x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}}=x^{2}-x+1+{\frac {0}{x^{2}+x+1}},$ ${\frac {2x^{4}+x^{2}+1}{2x^{2}+1}}=x^{2}+{\frac {1}{2x^{2}+1}}.$

Когда остаток при делении равен нулю, то значит первый многочлен делится на второй.

Определение 7.

Многочлен $P(x)$ делится на многочлен $Q(x)$, если существует многочлен $D(x)$ такой, что выполнено равенство:

$P(x)=Q(x)\cdot D(x).$

Задача 72[9]

Разделите один многочлен на другой с остатком:

а) ${\frac {2x^{2}+2}{x-1}}$;

б) ${\frac {x^{3}+28}{x+3}}$;

в) ${\frac {x^{3}+1}{x^{2}+1}}$;

г) ${\frac {x^{10}-1}{x^{5}-1}}$;

д) ${\frac {x^{12}+1}{x^{3}+1}}$;

е) ${\frac {x^{10}+1}{x^{4}+1}}$.

Решение

а)$(2x+2)+4/(x-1)$; б) $x^{2}-3x+9+1/(x+3)$; в) $x^{2}+1/(x^{2}+1)$; г) $x^{5}+1$; д) $x^{9}-x^{6}+x^{3}-1$; е) $x^{6}-x^{2}+(x^{2}+1)/(x^{4}+1)$.

Задача 73[9]

Известно, что $x^{3}-3x^{2}-10x+24$ имеет корень $x=2$. Найдите остальные корни.

Ответ: $-3$, $4$.

Подсказка Разделите $x^{3}-3x^{2}-10x+24$ на $x-2$.

Задача 74[9]

Известно, что $x^{4}+x^{3}-6x^{2}+10x-4$ имеет корень $x=1+i$. Найдите остальные корни.

Ответ: $1-i$, $-3+{\sqrt {17}}/2$, $-3-{\sqrt {17}}/2$.

Задача 75[9]

Найдите все корни уравнения $x^{4}+3x^{2}+2=0$.

Ответ: $i$, $-i$, ${\sqrt {2}}i$, $-{\sqrt {2}}i$.

Подсказка Один из корней равен $i$. Проверьте это.

Задача 76[12] Исследовательская задача

Пусть $P_{n}(x)=1+x+x^{2}+...x^{n}$. При каких $n$ и $m$ многочлен $P_{n}(x)$ делится на $P_{m}(x)$? Например: многочлен $P_{15}(x)$ делится на $P_{3}(x)$, $P_{15}(x)$ делится на $P_{3}(x)$, многочлены $P_{2}(x)$, $P_{8}(x)$, $P_{14}(x)$ делятся на $P_{2}(x)$, а $P_{4}(x)$, $P_{6}(x)$, $P_{10}(x)$ — не делятся на $P_{2}(x)$.

Подсказка Заметьте, что $n$ должно делиться нацело на $m$. Но это не достаточное условие. Докажите, что $P_{3^{k}}$ делится на $P_{3}(x)$ при нечетном $k$.

Мы умеем делить многочлены друг на друга с остатком, и значит можно говорить о наибольшем общем делителе двух многочленов.

Пусть $p(x)$ и $q(x)$ многочлены с коэффициентом 1 при старшей степени. Тогда

НОД($p(x)$, $q(x)$)

есть многочлен максимальной степени с коэффициентом $1$ при старшей степени, на который делятся $p(x)$ и $q(x)$.

Задача 77[10]

Найдите

а) НОД($x^{2}-1$, $x^{2}+2x+1$);

б) НОД($x^{3}-1$, $x^{2}-1$);

в) НОД($x^{3}-1$, $x^{2}-1$);

г) НОД($x^{3}-1$, $x^{2}-1$);

д) НОД($x^{8}-1$, $x^{4}-1$);

е) НОД($(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$, $(x-1)(x-3)(x-5)$).

Задача 78[10]

Докажите, что НОД двух многочленов, есть многочлен, корни которого являются корнями как первого, так и второго многочлена.

Задача 79[10]

Найдите общие корни многочленов

$p(z)=z^{4}+z^{2}-2,\quad q(z)=z^{3}+3z^{2}+2z+6.$

Решение

НОД($p(z)$, $q(z)$) = $z^{2}+2$, $z_{1}=i{\sqrt {2}}$, $z_{2}=-i{\sqrt {2}}$.

Основная теорема алгебры

Мы уже с вами отмечали, что некоторые многочлены не имеют действительных корней, зато имеют комплексные корни. Например, уравнения

$x^{2}+1=0,\quad x^{4}+3x^{2}+2=0$

не имеют действительных корней, так как их правая часть положительна при любых действительных $x$. Но, в то же время, комплексное число $i$ является корнем этих уравнений. Верна следующая теорема:

Теорема 4 (Основная теорема алгебры) Любой многочлен имеет комплексный корень.

Пояснения:

Коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и комплексными. Многочлен может иметь только действительные корни, но это не противоречит теореме, так как действительные числа являются подмножеством комплексных. Степень многочлена больше либо равна $1$.

Более того, многочлен степени $n$ обычно имеет ровно $n$ корней. А именно, верно следующее следствие из основной теоремы алгебры:

Следствие 1 Любой многочлен степени $n$ может быть разложен в произведение $n$ многочленов степени $1$ с комплексными коэффициентами.

Многочлены степени $1$ называются линейными.

Например, многочлен

$z^{3}+6z^{2}+11z+6$

раскладывается в произведение линейных многочленов с действительными коэффициентами:

$z^{3}+6z^{2}+11z+6=(z+1)\cdot (z+2)\cdot (z+2).$

А многочлен

$z^{3}+z^{2}-4x+6$

не может быть разложен в произведение действительных линейных многочленов — для его разложения нужны комплексные числа:

$z^{3}+z^{2}-4x+6=(z-1-i)\cdot (z-1+i)\cdot (z+3).$

Задача 80[9]

Проверьте последнее равенство.

В комплексных числах любой многочлен (даже с комплексными коэффициентами) раскладывается в произведение линейных многочленов. Каждый множитель — линейный многочлен — дает один корень многочлена.

Задача 81[9]

Почему многочлен степени $n$ раскладывается ровно на $n$ линейных множителей?

Доказательство основной теоремы алгебры довольно сложно. В конце этой части мы рассмотрим схему одного очень популярного интуитивного доказательства. А сейчас давайте поверим, что это теорема действительно имеет место. Для этого вспомните задачи 1,2 и 3.

Задача 82[10]

Докажите, что если комплексное число $z$ является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряженное число ${\overline {z}}$ также является его корнем. Решение Если многочлен $P(z)$ имеет действительные максимальные коэффициенты, то ${\overline {P(z)}}=P({\overline {z}})$ (см. задачу 23), и если $P(z)=0$, то и $P({\overline {z}})=0$.

Задача 83[10]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексный корень $3+4i$.

Решение:

Можно вспомнить про формулу квадратного уравнения и понять, что второй корень будет сопряжен первому. Остается по двум корням, $3+4i$ и $3-4i$, восстановить само квадратное уравнение. Для этого раскройте скобки $(x-3-4i)(x-3+4i)=\ldots$.

Подсказка: Среди квадратных трехчленов есть подходящий.

Задача 84[10]

Найдите многочлен с действительными коэффициентами, имеющий комплексные корни $2+i$ и $3-i$. Решение $(x-2-i)(x-3+i)(x-2+i)(x-3-i)=x^{4}-10x^{3}+39x^{2}-70x+50$.

Задача 85[10]

Используя основную теорему алгебры, докажите, что любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой или второй степени с действительными коэффициентами. Решение Можно доказывать методом математической индукции по степени многочлена. Идея доказательства: у любого многочлена $P(z)$ есть корень (основная теорема алгебры). Если это действительный корень $z=a$, то многочлен делится на $z-a$. После деления получаем многочлен степени на $1$ меньше — для него утверждение верно. Если корень комплексный $z_{0}$, то сопряженное число ${\overline {z_{0}}}$ тоже корень. А значит многочлен $P(z)$ делится на $(z-z_{0})(z-{\overline {z_{0}}})$. После раскрытия скобок в выражении $(z-z_{0})(z-{\overline {z_{0}}})$ получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. После деления получаем многочлен

на степени на $2$ меньше — для него тоже утверждение верно.

Задача 86[10]

Укажите разложение на линейные множители для многочленов

а) $x^{3}+1$; б) $x^{4}+1$; в) $x^{4}+2x^{2}+1$; г) $x^{6}-x$.

Решение а)$(x+1)(x^{2}-x+1)$; б) $(1-{\sqrt {2}}x+x^{2})(1+{\sqrt {2}}x+x^{2}))$; в) $(1+x^{2})(1+x^{2})$; г) $x(x-1)(1+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}x+x^{2})(1+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}x+x^{2})$;

Схема доказательства основной теоремы алгебры

Непрерывность — отображение кривых

Пусть $p(z)$ есть некоторый многочлен:

$p(z)=a_{n}\cdot z^{n}+\ldots +a_{1}\cdot z+a_{0}$

Тогда если мы будем медленно менять $z$, то число $p(z)$ тоже будет меняться медленно. Если $z$ будет двигаться по непрерывной прямой в комплексной плоскости, то $p(z)$ тоже будет двигаться по некоторой непрерывной кривой.

Например, пусть $z$ движется по окружности

$z=R\cdot e^{i\cdot \phi },\quad \phi \in [0,\,2\pi ].$

Тогда $p(z)=p(e^{i\cdot \phi })$ будет тоже двигать по некоторой кривой в комплексной плоскости — малое изменение $\phi$ будет вызывать малое смещение $p(z)$. Таким образом, мы можем говорить об отображении кривых — под действием многочлена $p(z)$ одна кривая превращается в другую кривую. На рисунке 12 изображена кривая, в которую отобразится окружность $|z|=1$ при отображении $z\mapsto p(z)$, ${p(z)=z^{3}-2z+1}$.

Рис. 12 Образ окружности $|z|=1$ под действием отображения $z\mapsto p(z)$, $p(z)=2z^{3}+3z^{2}+z+1$

Доминирование старшей степени

Как будет двигаться $p(z)$ если $p(z)=z^{n}$ и $z$ движется по окружности $|z|=1$? Другими словами, как выглядит образ окружности $|z|$ при отображении $z\mapsto z^{n}$? Заметьте, что $|z^{n}|=|z|^{n}=1$, поэтому образ этой окружности будет снова окружность, только в то время, как $z$ сделает один оборот по окружности $z^{n}$ сделает $n$ оборотов:

$(z^{n})=z^{i\cdot n\cdot \phi },$ $\arg z^{n}=n\cdot \arg z.$

Если $z$ сделает оборот по окружности радиуса $R$ $|z|=R$), то $z^{n}$ сделает $n$ оборотов по окружности радиуса $R^{n}$ $|z|=R^{n}$). Свойство доминирования старшей степени заключается в том, что при очень больших по модулю значениях $z$ в значение многочлена $p(z)=a_{n}\cdot z^{n}+\ldots +a_{1}\cdot z+a_{0}$ больший вклад вносит старший член $a_{n}\cdot z^{n}$.

Например, если $z=R\cdot e^{i\cdot \phi }$, то после подстановки в $p(z)$ получим:

$p(z)=a_{n}\cdot R^{n}(e^{i\cdot \phi })^{n}+a_{n}\cdot R^{n-1}(e^{i\cdot \phi })^{n-1}\ldots +a_{1}\cdot R(e^{i\cdot \phi })+a_{0}=$ $R^{n}\left(a_{n}\cdot (e^{i\cdot \phi })^{n}+a_{n}\cdot R^{-1}(e^{i\cdot \phi })^{n-1}\ldots +a_{1}\cdot R^{-(n-1)}(e^{i\cdot \phi })+a_{0}\cdot R^{-n}\right).$

После того, как мы вынесли за скобку $R^{n}$, в скобках осталось только одно слагаемое, которое не содержит $R^{-k}$. Все слагаемые кроме первого, при $R\to \infty$ уменьшаются и становятся совсем маленькими и не значительными. На рисунке 13 изображены образы трех окружностей радиусов $0,1$, $3$, $100$ — чем больше радиус, тем больше его образ похож на три оборота вокруг центра.

Непрерывность — движение кривых

Рис. 13 Образ окружностей $|z|=0,1$, $|z|=3$ и $|z|=10$ под действием отображения $z\mapsto p(z)$, ${p(z)=2z^{3}+3z^{2}+z+1}$.

А теперь представьте, что мы начали непрерывно менять $R$ (например, от $0$ до $10$). Тогда образ окружности $|z|=R$ при отображении $z\mapsto p(z)$, $p(z)=2z^{3}+3z^{2}+z+1$, постепенно будет деформироваться.

• Сначала, при $R=0$ это будет просто точка $z=p(0)=1$.
• Потом, при маленьком $R$, например $R=0,1$, вокруг точки $z=1$ появится некоторая замкнутая кривая (рис. 13).
• Потом, при некоторых средних значениях $R$, например $R=1$,будем иметь нечто необычное (рис. 12 справа).
• Потом, постепенно увеличивая $R$ до $R=3$, получим три ярко выраженных оборота (рис. 13}).
• При больших $R$, например $R=10$, обороты все больше будут сближаться друг к другу и выглядеть почти как $n$ окружностей.

(рис. 13).

Во время этой деформации кривая в какой-то момент пройдёт через точку $z=0$. Действительно, при маленьком $R$ точка $z=0$ находится снаружи замкнутой кривой, а при больших $R$ — внутри замкнутой кривой, которая, более того, делает вокруг $z=0$ несколько оборотов. Это означает, что при некотором $R$ и некотором $\phi$ получим $p(R\cdot e^{i\cdot \phi })=0$, и, следовательно, $z=R\cdot e^{i\cdot \phi }$ является корнем нашего многочлена. Таким образом, наш многочлен $p(z)$ точно имеет хотя бы один комплексный корень. Конец схемы доказательства

Алгебра многочленов по модулю многочлена

Очень часто в практике находит применение следующая конструкция. Рассматриваются многочлены от переменной $x$. При этом переменная $x$ удовлетворяет условию, что некоторый фиксированный многочлен от $x$ равен нулю. Например, верно равенство

$x^{3}+x^{2}+1=0.$

Заметьте, что из этого равенства можно заключить, что

$x^{3}=-x^{2}-1,$

а также, после умножения на $x$, $x^{2}$, … получим

$x^{4}=-x^{3}-x$ $x^{5}=-x^{4}-x^{2}$ $x^{6}=-x^{5}-x^{3}$ …

— то есть все степени $x^{n}$, начиная с $x^{3}$, могут быть выражены через многочлены меньшей степени. А значит, любой многочлен степени больше $2$ может быть упрощен до многочлена меньшей степени.

Задача 87[9]

Докажите, что если $x^{3}+x^{2}+1=0$, то любой многочлен $P(x)$ от $x$ может быть упрощен до многочлена степени меньше $3$.

Подсказка Попробуйте упростить многочлен $x^{5}$. Покажите, что результат совпадает с остатком при делении $P(x)=x^{5}$ на $Q(x)=x^{3}+x^{2}+1$.

Задача 88[9]

Докажите, что если дан многочлен $Q(x)$ степени $m$, и многочлен $P(x)$ степени $n\geq m$, и известно, что $Q(x)=0$, то многочлен $P(x)$ может быть упрощен до многочлена степени меньше $m$ и, при этом, единственным образом.

Подсказка Результат упрощения равен остатку при делении $P(x)$ на $Q(x)$. Докажите, что существуют единственные $D(x)$ и $R(x)$ такие, что

$P(x)=Q(x)D(x)+R(x),$

где степень $R(x)$ меньше степени $Q(x)$.

Определение 8

Пусть $p(x)$ есть многочлен степени $m$, и мы полагаем что

$p(x)=0.$

Тогда все многочлены можно рассматривать с точностью до остатка при делении на $p(x)$. Многочлены, разность которых делится на $p(x)$, считаются равными. Все многочлены мы заменяем на остатки при делении их на $p(x)$. Множество остатков при делении на $p(x)$ есть множество многочленов степени $m-1$ и меньше и называется

алгеброй многочленов по модулю $p(x)$.

В этой алгебре есть операция сложения — обычная операция сложения многочленов, и операция умножения — обычное умножение многочленов, после которого берется остаток при делении результата умножения на $p(x)$.

Задача 89[9]

Найдите, чему равны следующие многочлены по модулю $p(x)=x^{2}+1$.

Определение 9

Выражение

$q(x)\;{\rm {mod}}\;p(x)$

означает остаток при делении $q(x)$ на $p(x)$.

Задача 90[9]

Найдите, чему равно

$(a+bx)(c+dx)\;{\rm {mod}}\;(x^{2}+1)\;$

Задача 91[10]

Для многочлена $p(x)=x^{2}+x-999903$ найдите многочлен $d(x)$ такой, что

$d(x)\cdot p(x)=1\;{\rm {mod}}\;(x^{2}+1).$

Для каждого ли многочлена $p(x)$ найдется такой $d(x)$? Решение $i^{2}+i-3=-4+i$, $(-4+i)^{-1}=(-4-i)/17$, отсюда находим $d(x)=(-4-x)/17$.

Задача 92[10]

Докажите, что алгебра многочленов по модулю $x^{2}+1$ совпадает с комплексными числами. В каком смысле они совпадают?

Задача 93[10]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю $x^{2}-1$. Верно ли что, для каждого многочлена $q(x)$, который не делится на $x^{2}-1$, найдется $d(x)$ такой, что

$d(x)\cdot p(x)=1\;{\rm {mod}}\;(x^{2}-1)?$

Задача 94[10]

Рассмотрите алгебру многочленов по модулю $x^{2}-1$. Верно ли что, для каждого многочлена $q(x)$, который не делится на $x^{2}-1$, найдется $d(x)$ такой, что

$d(x)\cdot p(x)=1\;{\rm {mod}}\;(x^{2}-1)?$

Определение 10

Многочлен называется неприводимым, если он не может быть разложен в произведение многочленов степени больше $0$.

Задача 95[11]

а) Докажите, что в алгебре многочленов над комплексными числами не существует неприводимых многочленов степени больше $1$. б) Докажите, что в алгебре многочленов над действительными числами не существует неприводимых многочленов степени больше $2$ — неприводимы только те квадратные трехчлены, дискриминант которых отрицателен.

Задача 96[12]

Многочлены с действительными коэффициентами по модулю любого неприводимого многочлена $p(x)$ изоморфны комплексным числам.

Примечание

Изоморфность означает одинаковость с точностью до переобозначения. Два множества элементов $A$ и $B$ с операциями сложения и умножения изоморфны если между их элементами существует взаимооднозначное соответствие, которое сохраняет операции сложения и умножения. Например, пусть элементу $a$ из $A$ соответствует элемент $b=f(a)$ из $B$ $f$ — это функция, осуществляющая соответствие элементов $A$ элементам $B$). Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ произвольные элементы $A$. Тогда

$f(a_{1}+a_{2})=f(a_{1})+f(a_{2}),\quad f(a_{1}\cdot a_{2})=f(a_{1})\cdot f(a_{2}).$

Заметьте, что операции сложения и умножения слева от знака «равно» — это операции на множестве $A$, а операции сложения и умножения справа — операции на множестве $B$.

Подсказка Это соответствие строится следующим образом. Любой неприводимый квадратный трехчлен можно линейной заменой переменной $x\mapsto (\alpha x+\beta )$ превратить в $x^{2}+1$. По многочлену $q(x)$ можно найти многочлен $q(\alpha x+\beta )\;{\rm {mod}}\;p(x)$ — его два коэффициента соответствуют мнимой и действительной части соответствующего $q(x)$ комплексного числа. Действительные и комплексные числа называются числовыми полями. Есть ещё другие числовые поля. Если в каком-то числовом поле нет неприводимых многочленов степени больше $1$, то оно называется алгебраически замкнутым. Комплексные числа — единственное алгебраически замкнутое числовое поле, где бесконечное (точнее несчетное) число элементов.

Матрицы

Матрицы — это ещё одно обобщение чисел. Мы с вами изучим матрицы $2\times 2$.

Определение 11

Матрицы $2\times 2$ — это таблицы чисел $2\times 2$ вида

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$

на которых определены операции сложения и умножения. А именно, пусть

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\quad \quad B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}.$

Тогда

$A+B={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}}.$ $A\times B={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}}.$

Примечание

Первый индекс соответствует номеру строчки, второй — номеру столбца. Правила сложения и умножения можно коротко обозначить так:

$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},$ $(A\times B)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}.$

Если бы мы рассматривали матрицы $3\times 3$, то правило умножения выглядело бы так:

$(A\times B)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}.$

Чтобы получить элемент матрицы $(A\times B)$, стоящий в $i$-ой строчке и $j$-ом столбце, нужно взять $i$-ую строчку матрицы $A$ и $j$-ый столбец $B$, а затем взять их произведение — перемножить соответствующие элементы и сложить.

Задача 97[8]

Пусть

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},\quad \quad B={\begin{pmatrix}3&1\\-1&3\end{pmatrix}},\quad \quad E=({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Вычислите:

а) $A+B$; б) $A+B+E$; в) $A\times E$; г) $E\times B$; д) $A\times B$; е) $B\times A$.

Определение 12.

Матрица

$E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ называется единичной матрицей.

Задача 98[9]

Докажите, что

$A\times E=E\times A=A$

для любой матрицы $A$.

Таким образом, единичная матрица обладает такими же свойствами, как и число $1$ — умножение на $1$ не меняет число.

Определение 13

Введем обозначение:

$\mathbb {I} ={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Задача 99[9]

Докажите, что

$\mathbb {I} ^{2}=-E,$

то есть произведение матрицы $\mathbb {I}$ на саму себя дает единичную матрицу с минусом.

Определение 14

Матрицы можно умножать на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число. Например:

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}},\quad a\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&2a\\0&a\\\end{pmatrix}}.$

Задача 100[9]

Покажите, что а) $(\alpha A+\beta B)\times C=\alpha A\times C+\beta B\times C$; б) $(\alpha A)\times (\beta B)=(\alpha \beta )A\times B$; в) $(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$.

Задача 101[9]

Раскройте скобки

$(a_{1}\cdot E+b_{1}\cdot \mathbb {I} )\times (a_{2}\cdot E+b_{2}\cdot \mathbb {I} ).$

Введем обозначение

$M(a,b)={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.$

Задача 102[9]

Найдите результат умножения матриц $M(a,b)\times M(c,d)$.

Подсказка Обратите внимание на то, что получится снова матрица вида $M(x,y)$, то есть матрица, у которой на диагонали (верхний левый угол — нижний правый) стоят одинаковые числа, а два числа на другой диагонали противоположны.

Задача 103[9]

Найдите результат умножения матриц $M(a,b)\times M(a,-b)$.

Задача 104[9]

Покажите, что матрицы вида $M(a,b)$ с операциями сложения и умножения матриц соответствуют комплексным числам с операциями сложения и умножения комплексных чисел.

Задача 105[11]

На основе предыдущей задачи предположите, чему равно

$e^{M(a,b)}.$

Решение $e^{M(a,b)}=M(e^{a}\cos b,e^{a}\sin b)$.

Подсказка Чему равно $e^{a+bi}$?

Определение 15

Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$, если

$A\times B=B\times A=E.$

Задача 106[9]

Найдите матрицу, обратную к матрице $M(a,b)$, то есть найдите

${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}^{-1}.$

Задача 107[10]

Система линейных уравнений

${\begin{matrix}a\cdot x+b\cdot y=c,\\-b\cdot x+a\cdot y=d\end{matrix}}.$

может быть записана как

${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}.$

Покажите, что решение этой системы может быть записано как

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}.$

Рекомендуемая литература

• «Теорема Абеля в задачах», В. Б. Алексеев, — М.:МЦНМО, 2001.