Функцыянал

У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Функцыянал, значэнні.

Функцыяна́л — гэта адлюстраванне, зададзенае на адвольным мностве і тое, якое мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ або комплексных лікаў $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ^[1].

Вызначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Вобласць вызначэння функцыяналу можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з'яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць бесперапынны функцыянал; калі вобласць вызначэння з'яўляецца лінейнай прасторай над $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ або над $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ , можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з'яўляецца спарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы $X$ $X$ , называецца бесперапынным, калi ён бесперапынным як адлюстраванне ў тапалагічную прастору $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ .

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы $X$ $X$ , называецца бесперапынным ў кропцы $x\in X$ $x\in X$ , калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адлюстраванне ў тапалагічную прастору $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ .

У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адлюстраванне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.

Функцыянал, зададзены на лінейнай прасторы, і які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адлюстраванне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .

Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).

Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (бесперапынныя функцыі на адрэзку, інтэграваныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адлюстраванне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).

Функцыянал на лінейным прасторы называецца станоўча вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.

Адлюстраванне, якое перакладае вектар у яго норму, з'яўляецца выпуклым станоўча вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.

Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў : знайсці рашэнне (ўраўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы уключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.