0,(9)

0,(9) или 0,999… ($0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}$$0.{\bar {9}},0.{\dot {9}}$) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,

$1=0{,}(9).$$1=0{,}(9).$

У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.

Доказательства

Алгебраические

Деление столбиком

Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например ${\frac {1}{3}}$${\frac {1}{3}}$ приводит к бесконечному 0,333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0,999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0,333… эквивалентно 0,999…. И 3 × ¹⁄₃ эквивалентно 1, поэтому 0,999… = 1.

$1=3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9);$$1=3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9);$

$1=9\cdot {\frac {1}{9}}=9\cdot 0{,}111\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9).$$1=9\cdot {\frac {1}{9}}=9\cdot 0{,}111\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9).$

Манипуляции с цифрами

Когда число в десятичной записи умножается на 10, то цифры не меняются, но каждый разряд передвигается на одну цифру влево. Следовательно, 10 × 0,999… = 9,999…, что на 9 больше, чем исходное число. Чтобы это увидеть, отнимем 0,999… от 9,999…, каждая цифра после запятой исчезает, так как 9 — 9 = 0 для каждого разряда. Последний шаг использует правила алгебры:

${\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots ;\\10x&=9{,}999\ldots ;\\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots ;\\9x&=9;\\x&=1;\\0{,}999\ldots &=1.\end{aligned}}$${\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots ;\\10x&=9{,}999\ldots ;\\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots ;\\9x&=9;\\x&=1;\\0{,}999\ldots &=1.\end{aligned}}$

Нахождение разности

Два числа равны, если их разность равняется нулю. Таким образом, нужно найти значение выражения 1-0,(9). Сперва рассмотрим более простой пример. Найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация), затем, добавив к вычитаемому в следующий за последним разрядом цифру 9 (получится число 0,99), найдем разность 1 и нового вычитаемого 0,99 (вторая итерация). После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация) и т. д.

${\begin{aligned}1-0{,}9&=0{,}1\\1-0{,}99&=0{,}01\\1-0{,}999&=0{,}001\\\ldots \\\end{aligned}}$${\begin{aligned}1-0{,}9&=0{,}1\\1-0{,}99&=0{,}01\\1-0{,}999&=0{,}001\\\ldots \\\end{aligned}}$

Итак, при повышении номера итерации, значение вычитаемого стремится к 0,(9), а разность — к нулю. И в общем случае, данную ситуацию можно записать следующим образом:

${\begin{aligned}1-0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}&=0{,}\underbrace {00\ldots 0} _{m=n-1}1,\\\end{aligned}}$${\begin{aligned}1-0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}&=0{,}\underbrace {00\ldots 0} _{m=n-1}1,\\\end{aligned}}$

где n — номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого),
m — количество нулей между запятой и единицей разности.
Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности: $n=\infty$$n=\infty$. Тогда $m=n-1=\infty$$m=n-1=\infty$.
Таким образом, искомая разность формально имеет бесконечное количество нолей после запятой, после которых идет единица

$1-0{,}(9)=[0{,}(0)1]$$1-0{,}(9)=[0{,}(0)1]$.

На самом деле, если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае нулей), то в следующий после него разряд невозможно вписать больше ни единой цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае искомая разница после запятой будет иметь совокупность нулей, которая никогда не закончится (бесконечность нулей), а следовательно единицы после всех нолей не будет. Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:

$0{,}(0)=0.$$0{,}(0)=0.$

Таким образом,

$1-0{,}(9)=0,$$1-0{,}(9)=0,$

а значит

$1=0{,}(9).$$1=0{,}(9).$

Аналитические

Число 0,999… в общем виде можно записать как $b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots$$b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots$

Бесконечные последовательности

В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда:

$b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}({\tfrac {1}{10}})+b_{2}({\tfrac {1}{10}})^{2}+b_{3}({\tfrac {1}{10}})^{3}+b_{4}({\tfrac {1}{10}})^{4}+\cdots .$$b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}({\tfrac {1}{10}})+b_{2}({\tfrac {1}{10}})^{2}+b_{3}({\tfrac {1}{10}})^{3}+b_{4}({\tfrac {1}{10}})^{4}+\cdots .$

Для 0,999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии:

Если $|r|<1$$|r|<1$ , то $ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.$$ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.$

Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) $r=\textstyle {\frac {1}{10}}$$r=\textstyle {\frac {1}{10}}$, и таким образом:

$0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.$$0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.$

Такое доказательство (об эквивалентности 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании Элементы алгебры.

Единичные интервалы, (0.3, 0.33, 0.333, …) сходящиеся к 1 (в четверичной системе счисления).

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 году учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9). В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм.

Последовательность (x₀, x₁, x₂, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − x_n| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел:

$0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.$$0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.$

Последний шаг $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0$$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0$ — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Применение

Существует много применений, например в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на простые числа. Например:

• ¹/₇ = 0,142857142857… и 142 + 857 = 999.
• ¹/₇₃ = 0,0136986301369863… и 0136 + 9863 = 9999.

Миди в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди.

В популярной культуре

Новостная колонка The Straight Dope доказывает 0,999… с помощью ¹⁄₃ и пределов, говоря о непонимании,

Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается.

Чушь.

Вопрос о 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов Battle.net, что компания выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:

Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей.

Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.

См. также

• Неоднозначность представления в виде десятичной дроби
• −0 и +0