Тригонометрија

Тригонометрија (грч. τριγονο — троугао и грч. μετρειν — мерење, мера), део је математике и геометрије који се бави израчунавањем елемената троугла проналажењем законитости зависности у њиховим односима, као и успостављањем функција углова које их дефинишу. Првобитно је искључиво израчунавала вредности елемената троугла. Њен првобитни циљ је данас превазиђен и примена тригонометрије на основу израчунавања тригонометријских функција, ван сваког посматрања троугла, учинила је од тригонометрије значајну област математике и геометрије.

Порекло

Први корени тригонометрије су нађени у записима из Египта и Месопотамије. Тамо је нађена вавилонска камена плоча (око 1900—1600. п. н. е.) која садржи проблеме са релацијама које одговарају савременом $\sec ^{2}$$\sec ^{2}$. Египатски папирус Ринд (око 1650. п. н. е.) садржи проблеме са односима страница троугла примењеним на пирамиде. Нити Египћани, нити Вавилонци нису имали наше схватање мере угла, а релације тог типа су сматрали особинама троуглова, пре него самих углова.

Важан напредак направљен је у Грчкој у време Хипократа из Киоса (Елементи, око 430. п. н. е.), који је проучавао односе између централних углова кружнице и тетива. Хипарх је 140. п. н. е. направио таблицу тетива (прву претечу савремених синусних таблица). Менелај из Александрије (Сферна геометрија, око 100. нове ере) је први користио сферне троуглове и сферну тригонометрију. Птолемеј (Алмагест, око 100. н. е.) је направио таблицу тетива углова између 0,5° и 180° са интервалом од пола степена. Он је такође истраживао тригонометријске идентитете.

Грчку тригонометрију су даље развијали Хинду математичари који су остварили напредак размештањем тетива преузетих од Грка на полу тетиве круга са датим радијусом, тј. еквивалентом нашој синусној функцији. Прве такве таблице биле су у Сидхантасу (систем за астрономију) у IV и V веку ове ере. Попут бројева, модерна тригонометрија нам долази од Хинду математичара преко арапских математичара. Преводи са арапског на латински језик током XII века увели су тригонометрију у Европу.

Особа одговорна за „модерну“ тригонометрију био је ренесансни математичар Региомонтанус. Од доба Хипарха, тригонометрија је била једноставно алат за астрономска израчунавања. Региомонтанус (De triangulis omni modis, 1464; публиковано 1533.) био је први који је тригонометрију третирао као субјект по себи. Даљи напредак су направили Никола Коперник у De revolutionibus orbium coelestium (1543.) и његов ученик Ретикус. У Opus palatinum de trianulis (комплетирао његов ученик 1596.), Ретикус је установио употребу шест основних тригонометријских функција, правећи таблице њихових вредности, и држећи се идеје да те функције представљају односе страница у правоуглом троуглу (рађе него традиционалне полу-тетиве кругова).

Модерна аналитичка геометрија датира од времена Франсое Вијета, који је урадио таблице шест функција до најближе минуте (1579). Вијета је такође извео формулу за производ, тангенсну формулу и формуле за више углова. Крајем XV века је први пут употребљен назив „тригонометрија“.

Подела

Тригонометрија се дели на следеће три области:

1. Раванска тригонометрија, тригонометрија у ужем смислу; проучава
   • Тригонометријске функције, посебно:
     • синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс;
   • Инверзне тригонометријске функције, тзв. циклометријске, или аркус-функције:
2. Сферна тригонометрија, на површи сфере;
3. Хиперболичка тригонометрија, тригонометрија Лобачевског;
   • Хиперболичке функције:
     • синус хиперболички, косинус хиперболички, тангенс хиперболички, котангенс хиперболички, секанс хиперболички и косеканс хиперболички;
   • Инверзне хиперболичке функције, тзв. ареа-функције.

Анимације графичког приказа неких тригонометријских функција

• 

  Анимација графичког приказа функције синус у тригонометријском кругу y = sin(x)

• 

  Анимација графичког приказа функције тангенс у тригонометријском кругу y = tg(x)

• 

  Анимација графичког приказа функције косеканс у тригонометријском кругу y = cosec(x)

• 

  Анимација графичког приказа функције косинус у тригонометријском кругу y = cos(x)

Основна линија развоја тригонометрија била је примена у геометријским истраживањима. Развој прве и друге од набројаних тригонометрија ишао је уз Еуклидску раван, тј. елементарна геометрија и површину сфере, а трећа од тригонометрија је бар у почетку (XIX век) била везана за открића нееуклидских геометрија, (геометрија Лобачевског, затим Риманова геометрија). Примене тригонометрија данас су далеко шире.

Тригонометријске функције у правоуглом троуглу

У правоуглом троуглу: sin A = a/c; cos A = b/c; tg A = a/b

• Синус угла у правоуглом троуглу јесте количник наспрамне катете и хипотенузе.

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.$$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.$

• Косинус угла у правоуглом троуглу јесте количник лежеће катете и хипотенузе.

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.$$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.$

• Тангенс угла у правоуглом троуглу је однос наспрамне и лежеће катете.

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$

Тригонометријске функције у тригонометријском кругу

Тригонометријске функције у тригонометријском кругу.

Синус угла у тригонометријском кругу јесте вертикална пројекција јединичног радијус вектора који са почетним смером осе x прави тај угао.

Косинус угла у тригонометријском кругу јесте хоризонтална пројекција јединичног радијус вектора који са почетним смером осе x прави тај угао.

Тангенс угла у тригонометријском кругу јесте количник вертикалне и хоризонталне пројекције јединичног радијус вектора који са почетним смером осе x прави тај угао.

Котангенс угла у тригонометријском кругу јесте количник хоризонталне и вертикалне пројекције јединичног радијус вектора који са почетним смером осе x прави тај угао.

Литература

• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second Edition изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.  CS1 одржавање: Текст вишка (веза)
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Trigonometric functions”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge University Press.
• Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.

Спољашње везе

• Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
• Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License