Тригонометрија

Тригонометрија: правоаголен триаголник со агол α
Опис на страните на аголот α
тип	рамнинска фигура
образ	правоаголен триаголник
равенка	a²+b²=c²
подршка	sin(α)=a/c cos(α)=b/c tan(α)=a/b

Во математиката, тригонометрија е гранката во која се проучуваат својствата на слични правоаголни триаголници.

Бидејќи главните две тригонометриски функции синус и косинус кои ги опишуваат односите на страните на правоаголни триаголници имаат брановидна форма често пати се смета дека тригонометрија вклучува и проучување на брановидни, односно т.н. синусоидни функции.

Зборот тригонометрија е од грчките зборови trigonon=триаголник и metro=мерка.

Тригонометриски вредности

Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, а останатите два агли се остри и взаемно комплементни. Во стандардно означување, темето на правиот агол се означува со голема буква С, а спротивната страна т.н. хипотенуза се означува со мала буква c. Другите две темиња се означуваат со А и В, соодветните нивни агли со α и β и соодветните спротивни страни со a и b (види слики).

Го анализираме аголот α.

• Аголот α e остар агол, т.е. помал од 90°.
• Аголот α се наоѓа помеѓу катета означена со b и хипотенузата c, а спротивно на аголот α е страната a. Значи страната a е спротивната страна на α, а страната b е соседната или налегнатата страна на α. (Во овој момент јасно е зошто b се нарекува соседна страна. Taa е соседна на самиот агол, т.е. b е еден од краците на аголот α. Подолу ќе биде јасно зошто b се нарекува налегната страна. Се користат двата термини.)

Тригонометриски триаголник во стандардна позиција (налегнатата страна е хоризонтална)	Тригонометриски триаголник во позиција за физика (хипотенузата е вертикална)	Тригонометриски триаголник во општа позиција

Дефинираме три броеви кои се односите помеѓу три комбинации на две страни на овој триаголник во однос на аголот α.

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$   sin(α)= спротивната страна/хипотенузата

Оваа реченица се чита: синус од аголот α e a поделено со c, т.е. должината на катетата спротивна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$   cos(α)= налегнатата страна/хипотенузата

Оваа реченица се чита: косинус од аголот α e b поделено со c, т.е. должината на катетата соседна на аголот α поделена со должината на хипотенузата.

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$   tan(α)= спротивната страна/налегнатата страна

Оваа реченица се чита: тангенс од аголот α e a поделено со b, т.е. должината на страната спротивна на аголот α поделена со должината на катетата соседна на аголот α.

Има и три реципрочни комбинации на односи (котангенс=1/тангенс, секанс=1/косинус и косеканс=1/синус), но истите во Р. Македонија ретко се користат (и воопшто не се наоѓаат на дигитрони или во програмски јазици).

Забележуваме дека во погорното, димензиите на дадениот правоаголен триаголник не биле специфицирани, само фактот дека ⊿ABC е правоаголен триаголник со остар агол α. Се разбира дека овие дефиниции за синус, косинус и тангенс не би биле корисни ако зависеле од триаголникот, а не само од аголот α. Доказот дека вредностите зависат само од α е доказ за т.н. добродефинираност на тригонометриските вредности (види подолу).

Основни формули

$\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$$\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$

Доказ: Според дефинициите на тригонометриските вредности:

${\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}={\frac {\tfrac {a}{c}}{\,\,{\tfrac {b}{c}}\,\,}}={\frac {a}{b}}=\tan(\alpha )$${\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}={\frac {\tfrac {a}{c}}{\,\,{\tfrac {b}{c}}\,\,}}={\frac {a}{b}}=\tan(\alpha )$

$(\sin(\alpha ))^{2}+(\cos(\alpha ))^{2}=1$$(\sin(\alpha ))^{2}+(\cos(\alpha ))^{2}=1$

Доказ: Во кој било правоаголен триаголник, според Питагоровата теорема следува: а²+b²=c². Според дефинициите:

$(\sin(\alpha ))^{2}+(\cos(\alpha ))^{2}=({\tfrac {a}{c}})^{2}+({\tfrac {b}{c}})^{2}={\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}+{\tfrac {b^{2}}{c^{2}}}={\tfrac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\tfrac {c^{2}}{c^{2}}}=1$$(\sin(\alpha ))^{2}+(\cos(\alpha ))^{2}=({\tfrac {a}{c}})^{2}+({\tfrac {b}{c}})^{2}={\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}+{\tfrac {b^{2}}{c^{2}}}={\tfrac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\tfrac {c^{2}}{c^{2}}}=1$

Често пати математичарите ја пишат последната равенка во следната кратка форма:

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

Меѓутоа, оваа форма потешко се разбира при негово користење, а во математичкиот софтвер и програмирање најсигурно е со повеќе загради. (Во Геогебра, R програмски јазик, SAGE програмски јазик се користи sin(x)^2.)

Доказ за добродефинираност на тригонометриските вредности

Тука се докажува: За секој правоаголен триаголник со остар агол α, вредноста на sin(α) како однос на спротивната страна/хипотенузата е иста. Доказите за косинус и тангенс се аналогни.

Сличност на триаголници и односи на парови страни

Два триаголници се слични ако имаат два пара на складни, т.е. еднакви внатрешни агли. Aвтоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на внатрешни агли е секогаш 180° (види сличност на триаголници.

Ако два триаголници се слични, тогаш соодветниот однос на сите три пара соодветни страни од двата триаголници е истиот број (тоа е дефиницијата на сличност), т.е.

Два триаголници се слични ако:  ${\tfrac {a}{a'}}={\tfrac {b}{b'}}={\tfrac {c}{c'}}$${\tfrac {a}{a'}}={\tfrac {b}{b'}}={\tfrac {c}{c'}}$

Забележуваме дека оваа споредба е помеѓу поединeчните страни на два слични триаголници. Во тригонометријата се прави споредба помеѓу две страни од еден (правоаголен) триаголник.

Земајќи го (на пример) парот страни a и c. Од (тројната) равенка за сличност на триаголници имаме:

${\tfrac {a}{a'}}={\tfrac {c}{c'}}$${\tfrac {a}{a'}}={\tfrac {c}{c'}}$

Инаку средувајќи ја оваа равенка имаме:

${\tfrac {a}{c}}={\tfrac {a'}{c'}}$${\tfrac {a}{c}}={\tfrac {a'}{c'}}$

Следува А: При слични триаголници, односот на кој било пар страни на еден триаголник е истата вредност на односот на соодветниот пар страни на другиот триаголник. Ова е првиот клуч на тригонометријата.

Сличноста и правоаголни триаголници

По дефиниција, правоаголен триаголник има внатрешен прав агол, т.е. два правоаголни триаголници секогаш имаат еден пар еднакви внатрешни агли. Дефиницијата за сличност бара два пара еднакви агли.

Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два агли се еднакви. Автоматски и последниот пар агли се еднакви, но тоа е последица. Доволен доказ за сличноста на два правоаголни триаголници е да се покаже дека еден пар остри агли се еднакви.

Следува В: Два правоаголни триаголници со еднаков остар агол α се слични. Ова е вториот клуч на тригонометријата.

Заклучок

Нека ⊿ABC и ⊿A'B'C' се правоаголни триаголници со остар агол α.

Од В следува дека ⊿ABC и ⊿A'B'C' се слични.

Бидејќи се слични, од А следува дека ${\tfrac {a}{c}}={\tfrac {a'}{c'}}$${\tfrac {a}{c}}={\tfrac {a'}{c'}}$ односно вредноста на sin(α) e иста за двата триаголници. Значи за секој правоаголен триаголник со остар агол α, вредноста на sin(α) иста.

Графички доказ на добродефинираност на тригонометриски вредности

Нека е даден правоаголен триаголник ⊿ABC. Го ставиме триаголникот во стандардна позиција, односно го ставиме аголот α во стандардна позиција во Декартов правоаголен координатен систем на следниот начин. Темето на α, т.е. точката А е координатниот почеток О(0,0). Налегната страна b лежи на позитивнивниот дел од x-оската и хипотенузата c лежи во првиот квадрант со што третата спротивна страна a е вертикална. (Значи, во стандардна позиција, страната b е хоризонтална односно налегната.)

Нека е даден сега и друг правоаголен триаголник ⊿A'B'C' со истиот агол α во стандардна позиција.

Овие два триаголници се вгнездуваат еден во друг. (Тоа следува од сличноста.) Должините на страните на едниот триаголник се множат со истиот фактор за да се добиваат должните на соодветните страни на другиот триаголник. Значи, и од тука се гледа дека тригонометриските вредности зависат само од аголот α, односно се добродефинирани.

Вгнездување на два правоаголни триаголници во стандардна позиција со агол α. Тука α≈37°≈0,644.

Тригонометриски вредности за сите агли

Во погорното преку правоаголни триаголници дефинирани се тригонометриски вредности за агли 0°<α<90° односно 0<α<π/₂. Овие дефиниции се прошируваат за сите агли односно за позитивни и негативни агли и за големи агли, т.е. за α∈[-∞°,∞°]=[-∞,∞] (радијани).

Основна регулатива: За секој агол постој складен агол 0°≤α<360° односно 0≤α<2π.

Референтен агол и референтен триаголник

Нека α е (кој било) агол во стандардна позиција со теме О(0,0) и краен крак ОВ. Референтниот агол α_r на α е најмалиот остар агол помеѓу кракот ОВ и x-оската. Попрецизно, нека В(b,a) е точка на крајниот крак на α. Дефинираме точка С(b,0) на x-оската. Тогаш α_r е ненасочениот остар агол ∠СОВ во референтен правоаголен триаголник на α е ⊿CОВ.

Неколку агли и нивните референтните агли и референтните правоаголни триаголници нацртани во единичната кружница
Три (различни) агли во стандардна позиција 0°≤α≤90° 180°≤α≤270° -90°≤α≤0° Соодветните референтните агли и правоаголни триаголници на погорните агли α=37°,αr=37° α=217°,αr=37° α=-53°,αr=53°

Референтни агли по квадрант
Квадрант	$\alpha$$\alpha$	$\alpha _{r}$$\alpha _{r}$		$\alpha$$\alpha$	$\alpha _{r}$$\alpha _{r}$
I	$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$	$\alpha$$\alpha$		$0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}$$0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}$	$\alpha$$\alpha$
II	$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$	$180^{\circ }-\alpha$$180^{\circ }-\alpha$		${\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <\pi$${\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <\pi$	$\pi -\alpha$$\pi -\alpha$
III	$180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$$180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$	$270^{\circ }-\alpha$$270^{\circ }-\alpha$		$\pi <\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}$$\pi <\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}$	${\tfrac {3\pi }{2}}-\alpha$${\tfrac {3\pi }{2}}-\alpha$
IV	$270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$$270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$	$360^{\circ }-\alpha$$360^{\circ }-\alpha$		${\tfrac {3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$${\tfrac {3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$	$2\pi -\alpha$$2\pi -\alpha$

Референтни агли за 0°=0, 90°=π/2, 180°=π, 270°=3π/2, 360°=2π
Квадрант	$\alpha$$\alpha$	$\alpha _{r}$$\alpha _{r}$		$\alpha$$\alpha$	$\alpha _{r}$$\alpha _{r}$	Повеќе
IV-I	$0^{\circ }$$0^{\circ }$	$0^{\circ }$$0^{\circ }$		$0$$0$	$0$$0$	Празен агол
I-II	$90^{\circ }$$90^{\circ }$	$90^{\circ }$$90^{\circ }$		${\tfrac {\pi }{2}}$${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {\pi }{2}}$${\tfrac {\pi }{2}}$	Прав агол
II-III	$180^{\circ }$$180^{\circ }$	$0^{\circ }$$0^{\circ }$		$\pi$$\pi$	$0$$0$	Рамен агол
III-IV	$270^{\circ }$$270^{\circ }$	$90^{\circ }$$90^{\circ }$		${\tfrac {3\pi }{2}}$${\tfrac {3\pi }{2}}$	${\tfrac {\pi }{2}}$${\tfrac {\pi }{2}}$	Негативен прав агол
	$-90^{\circ }$$-90^{\circ }$	$90^{\circ }$$90^{\circ }$		${\tfrac {-\pi }{\,\,2}}$${\tfrac {-\pi }{\,\,2}}$	${\tfrac {\pi }{2}}$${\tfrac {\pi }{2}}$
IV-I	$360^{\circ }$$360^{\circ }$	$0^{\circ }$$0^{\circ }$		$2\pi$$2\pi$	$0$$0$	Полн агол

Тригонометриски вредности за агли според квадрант

Знакови на тригонометриски вредности по квадрант
Квадрант	$\alpha$$\alpha$	$\sin(\alpha )$$\sin(\alpha )$	$\cos(\alpha )$$\cos(\alpha )$	$\tan(\alpha )$$\tan(\alpha )$	$\alpha$$\alpha$
I	$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$$0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$	$\mathbf {+}$$\mathbf {+}$	$\mathbf {+}$$\mathbf {+}$	$\mathbf {+}$$\mathbf {+}$	$0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}$$0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}$
II	$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$$90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$	$\mathbf {+}$$\mathbf {+}$	$\mathbf {-}$$\mathbf {-}$	$\mathbf {-}$$\mathbf {-}$	${\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <\pi$${\tfrac {\pi }{2}}<\alpha <\pi$
III	$180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$$180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$	$\mathbf {-}$$\mathbf {-}$	$\mathbf {-}$$\mathbf {-}$	$\mathbf {+}$$\mathbf {+}$	$\pi <\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}$$\pi <\alpha <{\tfrac {3\pi }{2}}$
IV	$270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$$270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$	$\mathbf {-}$$\mathbf {-}$	$\mathbf {+}$$\mathbf {+}$	$\mathbf {-}$$\mathbf {-}$	${\tfrac {3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$${\tfrac {3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$

Тригонометриски вредности за 0°=0, 90°=π/2, 180°=π, 270°=3π/2, 360°=2π
$\alpha$$\alpha$	$\sin(\alpha )$$\sin(\alpha )$	$\cos(\alpha )$$\cos(\alpha )$	$\tan(\alpha )$$\tan(\alpha )$	$\alpha$$\alpha$
$0^{\circ }$$0^{\circ }$	$0$$0$	$\mathbf {+} 1$$\mathbf {+} 1$	$0$$0$	$0$$0$
$90^{\circ }$$90^{\circ }$	$\mathbf {+} 1$$\mathbf {+} 1$	$0$$0$	$\infty$$\infty$	${\tfrac {\pi }{2}}$${\tfrac {\pi }{2}}$
$180^{\circ }$$180^{\circ }$	$0$$0$	$\mathbf {-} 1$$\mathbf {-} 1$	$0$$0$	$\pi$$\pi$
$270^{\circ }$$270^{\circ }$	$\mathbf {-} 1$$\mathbf {-} 1$	$0$$0$	$\infty$$\infty$	${\tfrac {3\pi }{2}}$${\tfrac {3\pi }{2}}$
$-90^{\circ }$$-90^{\circ }$				${\tfrac {-\pi }{\,\,2}}$${\tfrac {-\pi }{\,\,2}}$
$360^{\circ }$$360^{\circ }$	$0$$0$	$\mathbf {+} 1$$\mathbf {+} 1$	$0$$0$	$2\pi$$2\pi$

Секоја точка Т(a,b) на единичната кружница определува агол α во стандардна позиција таква што sin(α)=a и cos(α)=b. Тука a>0 и b<0.

Единична кружница

Bо геометријата, единична кружница е кружница во рамнина со радиус 1 и со центар во координатниот почеток О(0,0). Значи равенката со која се дефинираат сите точки на единична кружница е x²+y²=1.

Од друга страна, нека Т(b,a) е точка на единичната кружница. Како точка, Т еднозначно определува агол α=∠XOT каде што координатниот почеток 0(0,0) е темето, а Х=(1,0). Доколку Т не е во I квадрант, го формираме соодветниот референтен агол и референтниот правоаголен триаголник (види слики погоре каде што буквата Т ја заменува буквата В). Бидејќи Т е точка на единичната кружница, хипотенузата, т.е. отсечката ОТ=c е и радиус на кружницата. Значи, c=1 и следува:

• За точка T(b,a) на единичната кружница со соодветен агол α=∠XOT: sin(α)=a и cos(α)=b.
• Знаковите на страните a и b ги задржуваме! Должината на c=1 (позитивна). Ова е МНОГУ важно.

Поврзани теми

• Агол
• Триаголник, Правоаголен триаголник
• Сличност на триаголници
• Единична кружница
• Синус,Косинус,Тангенс
• Синусоидни функции
• Циклометрички функции

Надворешни линкови

• „Trigonometry (Summary)“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/trigsummary.html. конс. декември 2013 г.  интерактивен
• „Trignometric Functions“ (на англиски). Math Open Reference. 2009. http://www.mathopenref.com/trigfunctions.html. конс. декември 2013 г.  интерактивен