মেট্রিক্স

মেট্রিক্স (ইংরেজি Matrix) একটি গাণিতিক শব্দ ।

মেট্রিক্স বলতে মূলত দুপাশে বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ বিভিন্ন নম্বরের একধরণের আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাসকে বুঝায় যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়। তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ :

1. কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
2. কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা

একটি মেট্রিক্সের গঠন

মেট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায় আয়তাকারে সারি ও কলামে বা শুধু সারিতে বা শুধু কলামে সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠি একটি মেট্রিক্স গঠন করে।

একটি মেট্রিক্স কে তার সারি এবং কলাম সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন: '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'

উপরোক্ত মেট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (a₁₁, a₁₂ প্রভৃতি) m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে m×n মেট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের মেট্রিক্সকে A=[a_mn] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রকারভেদ

কলাম মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম থাকে। একে কলাম ভেক্টরও বলে।

যেমন : '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'

সারি মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে। একে সারি ভেক্টরও বলে।

যেমন : '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'

বর্গ(square) মেট্রিক্স

যে মেট্রিক্সে কলাম ও সারির সংখ্যা সমান। অর্থাৎ যদি কোন মেট্রিক্স [a_ij]এর উপাদান এমন হয় যে i=j তবে তাকে বর্গ ম্যট্রিক্স বলে।

যেমন : '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'

কর্ণ(diagonal) মেট্রিক্স

যদি কোন বর্গ ম্যট্রিক্সের উপাদানগুলোর মধ্যে কর্ণ ব্যাতীত সকল উপাদানের মান শুন্য(০) হয় তবে তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ যদি মেট্রিক্স[a_ij]-এর উপদান এমন হয় যে a_ij=0, যখন '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' তখন তাকে কর্ণ মেট্রিক্স বলে। '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"'

অভেদক(identity) মেট্রিক্স

একটি বর্গ মেট্রিক্সের কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শুন্য(০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক(1) হয় তবে তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে। সকল অভেদক মেট্রিক্স-ই কর্ণ মেট্রিক্স। অর্থাৎ যদি কোনো মেট্রিক্স [a_ij]-এর উপাদান এমন হয় যে a_ij=0 যখন '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' এবং a_ij=1 যখন i=j তখন তাকে অভেদক মেট্রিক্স বলে।

'"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'

শূণ্য মেট্রিক্স

যখন কোনো মেট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শুন্য হয় তাকে শুন্য মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_ij] একটি শুন্য মেট্রিক্স যখন a_ij=0।

যেমন: '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' এটিকে [O_{3*2] চিহ্নরূপে প্রকাশ করা হয় ৷}

_{প্রতিসম (Symmetric) মেট্রিক্স}

_{যে অশুন্য বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে প্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [aij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij=aji। যেমন: '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'}

বিপ্রতিসম (skew symmetric) মেট্রিক্স

যে বর্গ মেট্রিক্সের সারি(গুলোকে) কলাম অথবা কলাম(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ মেট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সংবলিত মেট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে বিপ্রতিসম মেট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [a_{ij] একটি প্রতিসম মেট্রিক্স যখন aij= -aji।}

উদাহরণ:'"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'

হার্মেশিয়ান(hermetian) মেট্রিক্স

'"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"'

মেট্রিক্সের বীজগণিত

মূল নিবন্ধ: মেট্রিক্সের বীজগণিত

যোগ

মূল নিবন্ধ: মেট্রিক্সের যোগ

দুইটি mXn মেট্রিক্স A এবং B, তাদের যোগ A+B একটি mXn মেট্রিক্স হবে যা গণনা করা হয়েছে সংশ্লিষ্ট উপাদান সমূহের যোগের মাধ্যমে (অর্থ্যাৎ, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j])। উদাহরণঃ

'"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"'

স্কেলার গুণন

মূল নিবন্ধ: ম্যাট্রিক্স গুনন

একটি মেট্রিক্স A এবং একটি রাশি বা সংখ্যা c, স্কেলার গুণন cA গণনা করা হয় স্কেলার রাশি c কে A এর প্রতিটি উপাদান দিয়ে গুণ করে (অর্থ্যাৎ, (cA)[i, j] = cA[i, j] ) উদাহরণঃ

'"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'

মেট্রিক্স গুণন

মেট্রিক্স A_pq এবং B_rs এদের গুণন [A]×[B] একমাত্র সম্ভব যদি, q=r হয় ৷ অর্থাৎ প্রথম মেট্রিক্সের কলাম সংখ্যা ২য় টির সারি সংখ্যার সমান হতে হবে ৷ নূতন মেট্রিক্সটি C_ps হবে ৷ A-এর ১ম সারি, B-এর ১ম কলামের সঙ্গে গূণ হবে; এটি C₁₁ হবে ৷ A-এর ১ম সারি, B-এর ২য় কলামের সঙ্গে গূণ হবে; এটি C₁₂ হবে ৷ A-এর ১ম সারি, B-এর ৩য় কলামের সঙ্গে গূণ হবে; এটি C₁₃ হবে ৷ একইভাবে A-এর ২য় সারি B-এর ১ম, ২য়, ৩য় ............. কলামের সঙ্গে গুণ হবে, গুণফল যথাক্রমে C₂₁, C₂₂, C₂₃ ইত্যাদী হবে ৷ C₁₁ = A₁₁×B₁₁+A₁₂ ×B₂₁+A₁₃×B₃₁ + A₁₄ ×B₄₁

'"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'

তথ্যসূত্র

• Anton, Howard (১৯৮৭)। Elementary Linear Algebra (5th সংস্করণ)। New York: Wiley। আইএসবিএন 0-471-84819-0। 
• Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (১৯৯২)। Ordinary differential equations। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-3-540-54813-3। 
• Artin, Michael (১৯৯১)। Algebra। Prentice Hall। আইএসবিএন 978-0-89871-510-1। 
• Association for Computing Machinery (১৯৭৯)। Computer Graphics। Tata McGraw–Hill। আইএসবিএন 978-0-07-059376-3। 
• Baker, Andrew J. (২০০৩)। Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-1-85233-470-3। 
• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (১৯৯৭)। Numerical linear algebra। Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics। আইএসবিএন 978-0-89871-361-9। 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (১৯৭৩)। A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields। Boston: Houghton Mifflin Co.। আইএসবিএন 0-395-14017-X। 
• Bretscher, Otto (২০০৫)। Linear Algebra with Applications (3rd সংস্করণ)। Prentice Hall। 
• Bronson, Richard (১৯৮৯)। Schaum's outline of theory and problems of matrix operations। New York: McGraw–Hill। আইএসবিএন 978-0-07-007978-6। 
• Brown, William C. (১৯৯১)। Matrices and vector spaces। New York, NY: Marcel Dekker। আইএসবিএন 978-0-8247-8419-5। 
• Coburn, Nathaniel (১৯৫৫)। Vector and tensor analysis। New York, NY: Macmillan। ওসিএলসি 1029828। 
• Conrey, J. Brian (২০০৭)। Ranks of elliptic curves and random matrix theory। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-69964-8। 
• Fraleigh, John B. (১৯৭৬)। A First Course In Abstract Algebra (2nd সংস্করণ)। Reading: Addison-Wesley। আইএসবিএন 0-201-01984-1। 
• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (১৯৮৩)। Game Theory। MIT Press। 
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (২০০১)। Elliptic partial differential equations of second order (2nd সংস্করণ)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-3-540-41160-4। 
• Godsil, Chris; Royle, Gordon (২০০৪)। Algebraic Graph Theory। Graduate Texts in Mathematics 207। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-95220-8। 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (১৯৯৬)। Matrix Computations (3rd সংস্করণ)। Johns Hopkins। আইএসবিএন 978-0-8018-5414-9। 
• Greub, Werner Hildbert (১৯৭৫)। Linear algebra। Graduate Texts in Mathematics। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-90110-7। 
• Halmos, Paul Richard (১৯৮২)। A Hilbert space problem book। Graduate Texts in Mathematics 19 (2nd সংস্করণ)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-90685-0। এমআর 675952। 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (১৯৮৫)। Matrix Analysis। Cambridge University Press। আইএসবিএন 978-0-521-38632-6। 
• Householder, Alston S. (১৯৭৫)। The theory of matrices in numerical analysis। New York, NY: Dover Publications। এমআর 0378371। 
• Krzanowski, Wojtek J. (১৯৮৮)। Principles of multivariate analysis। Oxford Statistical Science Series 3। The Clarendon Press Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-852211-9। এমআর 969370। 
• Itõ, Kiyosi, সম্পাদক (১৯৮৭)। Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd সংস্করণ)। MIT Press। আইএসবিএন 978-0-262-09026-1। এমআর 901762। 
• Lang, Serge (১৯৬৯)। Analysis II। Addison-Wesley। 
• Lang, Serge (১৯৮৭a)। Calculus of several variables (3rd সংস্করণ)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-96405-8। 
• Lang, Serge (১৯৮৭b)। Linear algebra। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-96412-6। 
• টেমপ্লেট:Lang Algebra
• Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (১৯৯৯)। Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st সংস্করণ)। Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics। আইএসবিএন 978-0-89871-425-8। 
• Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (১৯৯৯)। Foundations of statistical natural language processing। MIT Press। আইএসবিএন 978-0-262-13360-9। 
• Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (১৯৭৮)। Stochastic processes। New York, NY: McGraw–Hill। আইএসবিএন 978-0-07-096612-3। 
• Mirsky, Leonid (১৯৯০)। An Introduction to Linear Algebra। Courier Dover Publications। আইএসবিএন 978-0-486-66434-7। 
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (২০০৬)। Numerical Optimization (2nd সংস্করণ)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। পৃ: ৪৪৯। আইএসবিএন 978-0-387-30303-1। 
• Oualline, Steve (২০০৩)। Practical C++ programming। O'Reilly। আইএসবিএন 978-0-596-00419-4। 
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (১৯৯২)। "LU Decomposition and Its Applications"। Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd সংস্করণ)। Cambridge University Press। পৃ: 34–42। 
• Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (২০০২)। The traveling salesman problem and its variations। Boston, MA: Kluwer Academic Publishers। আইএসবিএন 978-1-4020-0664-7। 
• Reichl, Linda E. (২০০৪)। The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-98788-0। 
• Rowen, Louis Halle (২০০৮)। Graduate Algebra: noncommutative view। Providence, RI: American Mathematical Society। আইএসবিএন 978-0-8218-4153-2। 
• Šolin, Pavel (২০০৫)। Partial Differential Equations and the Finite Element Method। Wiley-Interscience। আইএসবিএন 978-0-471-76409-0। 
• Stinson, Douglas R. (২০০৫)। Cryptography। Discrete Mathematics and its Applications। Chapman & Hall/CRC। আইএসবিএন 978-1-58488-508-5। 
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (২০০২)। Introduction to Numerical Analysis (3rd সংস্করণ)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-95452-3। 
• Ward, J. P. (১৯৯৭)। Quaternions and Cayley numbers। Mathematics and its Applications 403। Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group। আইএসবিএন 978-0-7923-4513-8। এমআর 1458894। 
• Wolfram, Stephen (২০০৩)। The Mathematica Book (5th সংস্করণ)। Champaign, IL: Wolfram Media। আইএসবিএন 978-1-57955-022-6। 
• Bohm, Arno (২০০১)। Quantum Mechanics: Foundations and Applications। Springer। আইএসবিএন 0-387-95330-2। 
• Burgess, Cliff; Moore, Guy (২০০৭)। The Standard Model. A Primer। Cambridge University Press। আইএসবিএন 0-521-86036-9। 
• Guenther, Robert D. (১৯৯০)। Modern Optics। John Wiley। আইএসবিএন 0-471-60538-7। 
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (১৯৮০)। Quantum Field Theory। McGraw–Hill। আইএসবিএন 0-07-032071-3। 
• Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (১৯৯৭)। Mathematical methods for physics and engineering। Cambridge University Press। আইএসবিএন 0-521-55506-X। 
• Schiff, Leonard I. (১৯৬৮)। Quantum Mechanics (3rd সংস্করণ)। McGraw–Hill। 
• Weinberg, Steven (১৯৯৫)। The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations। Cambridge University Press। আইএসবিএন 0-521-55001-7। 
• Wherrett, Brian S. (১৯৮৭)। Group Theory for Atoms, Molecules and Solids। Prentice–Hall International। আইএসবিএন 0-13-365461-3। 
• Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (২০০৬)। Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-1-4020-4530-1। 
• A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
• Bôcher, Maxime (২০০৪)। Introduction to higher algebra। New York, NY: Dover Publications। আইএসবিএন 978-0-486-49570-5। , reprint of the 1907 original edition
• Cayley, Arthur (১৮৮৯)। The collected mathematical papers of Arthur Cayley। I (1841–1853)। Cambridge University Press। পৃ: 123–126। 
• Dieudonné, Jean, সম্পাদক (১৯৭৮)। Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900। Paris, FR: Hermann। 
• Hawkins, Thomas (১৯৭৫)। "Cauchy and the spectral theory of matrices"। Historia Mathematica 2: 1–29। আইএসএসএন 0315-0860। এমআর 0469635। ডিওআই:10.1016/0315-0860(75)90032-4। 
• Knobloch, Eberhard (১৯৯৪)। "From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations"। The intersection of history and mathematics। Science Networks Historical Studies 15। Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser। পৃ: 51–66। এমআর 1308079। 
• Kronecker, Leopold (১৮৯৭)। Hensel, Kurt, সম্পাদক। Leopold Kronecker's Werke। Teubner। 
• Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (১৯৮৭)। The Historical Development of Quantum Theory (1st সংস্করণ)। Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag। আইএসবিএন 978-0-387-96284-9। 
• Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (১৯৯৯)। Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd সংস্করণ)। Oxford University Press। আইএসবিএন 978-0-19-853936-0। 
• Weierstrass, Karl (১৯১৫)। Collected works 3। 

বহিঃসংযোগ

• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১)। "Matrix"। Encyclopedia of Mathematics। Springer Science+Business Media। আইএসবিএন 978-1-55608-010-4। 
• MacTutor: Matrices and determinants
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors
• Kaw, Autar K.। Introduction to Matrix Algebra। আইএসবিএন 978-0-615-25126-4। 
• The Matrix Cookbook (PDF)। সংগৃহীত ২৪ মার্চ ২০১৪। 
• Brookes, Mike (২০০৫)। The Matrix Reference Manual। London: Imperial College। সংগৃহীত ১০ Dec ২০০৮। 
• SimplyMath (Matrix Calculator)। 
• Matrix Calculator (DotNumerics)। 
• Xiao, Gang। Matrix calculator। সংগৃহীত ১০ Dec ২০০৮। 
• Online matrix calculator। সংগৃহীত ১০ Dec ২০০৮। 
• Online matrix calculator (ZK framework)। সংগৃহীত ২৬ Nov ২০০৯। 
• Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher। MacAnova। University of Minnesota, School of Statistics। সংগৃহীত ১০ Dec ২০০৮। , a freeware package for matrix algebra and statistics
• Online matrix calculator। সংগৃহীত ১৪ Dec ২০০৯। 
• Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)টেমপ্লেট:Linear algebra